2017年山东理工大学理学院856高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
矩阵，则则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
有非零解
有惟一解 只有零解
有零解.
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】 2． 若
【答案】C
秩
未知量个数，
都是4维列向量，且4阶行列式
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
3． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，
记
A. B. C. D.
【答案】B
则（ ）.
【解析】由已知，有
于是
4． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使
C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 5． 设
则3条直线
（其中
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
）交于一点的充要条件是（ ）
.
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
线性表出.
方程组①有惟一解
由秩A=2, 可知可由
可知线性相关，即可由线性表出，
从而
线性相关，故选D.
二、分析计算题
6． 已知二次型
（1）写出f 的矩阵A ；
（2）求出A 的特征值及对应的特征向量. 【答案】（1）二次型的矩阵为
（2）可计算得
所以其中
当零常数.
当
时，得特征向量
当
时，得特征向量
时，得特征向量A 属于1的全部特征向量为
其中
为P 中任意非
为P 中任意非零常数.
A 属于-1的全部特征向量为A 属于4的全部特征向量为
其中为P 中任意非零常
数.
7． 已知A ，B ，C 是n 阶矩阵，A 可逆，并且
证明
可逆，并求其逆。
由Hamilton-Caylay 定理知
由A 可逆，则
于是
上式两边左乘C ，右乘B ，得
注意到A 可逆，由
故因为
可逆.
【答案】设A 的特征多项式为
所以
8． 设
是数域P 中互不相同的数，
是数域P 中任一组给定的数，用克
使
拉默法则证明：存在惟一的数域P 上的多项式
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