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一、选择题

1． 设n （n ≥3）阶矩阵

若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1

B. C.-1

D.

【答案】B 【解析】

故

但当a=l时，

2． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩

则线性方程组（

【答案】D 【解析】

3． 设

则A 与B （ ）.

A. 合同且相似

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•

）

B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A

【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值

又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵

其中

故A 〜B.

再由

是正交阵，知T 也是正交阵，从而有

且由①式得

使

因此A 与B 合同.

4． 设线性方程组的解都是线性方程组

【答案】（C ） 【解析】设即证秩

5． 设向量组

的解空间分别为

的解，则（ ）。

则

所以

线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）

【答案】C 【解析】方法1:令

则有

由

线性无关知，

该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于

从而

线性无关，且

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线性无关.

因为

所以向量组

线性无关.

二、分析计算题

6． 设

求

又

【答案】根据综合除法，得

故 7． 设

也是V 的一基.

【答案】证法若T 可逆，则其逆若不然，则

反之，若则证法

这里若

’

也是V 的线性变换. 而且必线性相关，矛盾. 故

必线性无关：因为也是的一基.

是数域K 上n 维空间V 的一基. 证明：V 的线性变T 可逆的充要条件是

线性无关，则它也是V 的一基. 从而对任意令

即T 是V 的满射变换. 于是T 是V 的双射变换（若在此直接证

T 是单射变换也很容易），从而是可逆变换.

线性无关，则它是V 的一基. 从而由定理知，存在线性变换S 使

由此得ST=1 （恒等变换）. 于是TST=T，从而

故TS=1，即ST=TS=1, T 可逆。 证法由于从而得证.

8． 设A 为正定阵

，

的极小值为【答案】取

则

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设T 在基之下的矩阵为A ，即

是基，线性无关，而且

均为n 维列向量，证明：二次函数