● 摘要
算子论是泛函分析中一个极其重要的研究领域，幂等算子及算子的Drazin 逆是
近年来算子论中比较活跃的研究课题.
对它们的研究涉及到基础数学与应用数学的许多分支,
诸如代数学、几何理论、算子扰动理论、矩阵理论、逼近论,
优化理论与量子物理等,
通过对它们的研究可使算子结构的内在关系变得更加清晰,
同时也使得有关算子论课题的研究具有更坚实的理论基础.
本文研究内容涉及Hilbert 空间中的两个幂等算子的线性组合,路径连接以及
Hilbert 空间中算子的Drazin 逆三个方面的内容.
全文共分三章,主要内容如下：
第一章根据空间分解理论及算子矩阵分块的技巧,给出了Hilbert 空间中幂等算子
与正交投影算子的几何表示,并以此为工具,系统的研究了无限维Hilbert空间中幂等算子
线性组合的性质,刻画出$cal B(H)$中两个幂等算子$P$和$Q$的线性组合$lambda_1P+lambda_2Q$
保持幂等性的充分必要条件,其中$lambda_1$与$lambda_2$
为非零复数, 从而推广了文献[1]中 J. K. Baksalary与 O. M. Baksalary 的结论. 值得指出的是，
我们通过严密的推理得出, [1]中定理的条件 $P_1P_2
eq P_2P_1$是非必要的.
第二章主要讨论在无限维Hilbert空间中, 两个同伦的幂等算子的连通性问题.由于在此问题的探讨中，
由 Z. V. Kovarik 于1977年提出的Kovarik 公式有着举足轻重的作用. 因此在本章第二节中，我们深入讨论了
Kovarik 公式及其广义 Kovarik 公式的性质特征.
随后,我们以此为工具,借助算子矩阵分块的技巧，
给出了无限维Hilbert 空间中两个同伦的幂等算子在
$ ilde{s}(P,Q)leq 2$时所满足的充分必要条件, 这里的$ ilde{s}(P,Q)$
表示在幂等算子的全体$cal P$中连接从$P$到$Q$,同时满足连接从$Q$到$P$的保持幂等性的最小的线段个数,此时的条件相比[26]中
J. Giol 给出的条件要更弱一点，文中我们做了具体的证明.
第三章致力于研究定义在~Hilbert 空间中算子的~Drazin 逆. 运用算子指标理论及
空间分解理论，并借助于[35]中~Hilbert 空间上有界线性算子~Drazin 逆的表示,
我们
证明了在无限维Hilbert 空间中两个Drazin 可逆的算子$P$与$Q$在$PQ=0$的条件下，$P+Q$是Drazin 可逆的,并给出其相应的Drazin逆的表达式,
从而将[40]中的结论推广到无限维Hilbert空间.
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