2017年杭州师范大学高等数学考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 设D 是由曲线
，直线
及x 轴所围成的平面图形，V x ，V y 分别是D 绕x ，求a 的值。
2． 设又
【答案】由
，其中，求函数值
可得
由对称性可知
又
，则
则又
，故
，则
。
，故
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轴和y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若
【答案】
，。
二阶可导，，
则
3． 已知函数
满足
，且
，求曲线
所成
。
的图形绕直线y=-1旋转所成的旋转体的体积。
【答案】由于函数连续函数；又
故知令
，可得
，得到
；且当y=-1时，x 1=1，x 2=2；则曲线
4． 试求
的经过点M （0, 1）且在此点与直线
相切的积分曲线。
【答案】由于直线
在（0, 1）处的切线斜率为，依题设知，
所求积分曲线是初值问题的解。
由
再积分，
得
积分
得
，代入x=0, y=1,
得
代入x=0
,
得
，即
有
满足
，
所
，故
，其中C （x ）为待定的
成的图形绕直线y=-1旋转所成的旋转体的体积为
于是所求积分曲线的方程为
二、计算题
5． 设函数f （x ）和g （x ）均在点x 0的某一邻域内有定义，f （x ）在x 0处可导，f （x 0）=0，g （x ）在x 0处连续，试讨论f （x ）g （x ）在x 0处的可导性。
【答案】由f （x ）在x 0处可导，且f （x 0）=0，则有
由g （x ）在x0处连续，则有故
即f （x ）g （x ）在x 0处可导，其导数为f’（x 0）g （x 0）。
，
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6． 设平面薄片所占的闭区域D 由直线x+y=2，y=x和x 轴所围成，它的面密
度
，求该薄片的质量.
【答案】D 如图1所示. 所求薄片的质量
图1
7． 求底圆半径相等的两个直交圆柱面A ，则由对称性知全部表面的面积为16A 。
2
故全部表面积为16R 。
及所围立体的表面积。
上的那一部分的面积为
【答案】如图所示，设第一卦限内的立体表面位于圆柱面
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