2017年北京师范大学1701物理类综合之量子力学考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 考虑一维双势阱：
（1）推导在x=a处波函数的连接条件. （2）对于偶宇称的解，即征值的数目.
【答案】（1）薛定谔方程可表示为
OT 为粒子质量，
为方程的奇点，在x=a
点处
对上述方程积分
得出
（2）由题意知当x ＞a 时
，当-a ＜x ＜a 时，
其中
其中
考虑到束缚态，因此解为
考虑到偶宇称，因此解为
结合x=a处的边界条件和此处的波函数连续条件，可得
化去A , C后可得，
此即能量本征值所需要满足的方程
.
不存在，表现为
不连续。
求束缚态能量本征值满足的方程，并用图解法说明本
其中
图
所以满足此方程的本征值只有一个.
2． —质量为m 的粒子限制在宽度为2L 的无限深势阱当中运动. 势阱为现在势阱的底部加一微扰态的能量。
【答案】未施加微扰前，粒子本征波函数以及相应本证能量为
显然为非简并态。
微扰为故
由
故激发态的一级近似能量为
3．
若有已归一化的三个态交，归一的新的态矢量
【答案】因为设由
所以
和
和]
贝IJ :
得：
同理，设由
代入上式，得：
故：
则：
因此：
且有
试用Schmidt 方法构成正
其中
试利用一阶微扰理论计算第n 激发
4． 空间中有一势场射）。 （1）写出
它在时趋于零. 一质量为m 的自由粒子被此势场散射（弹性散
时，被散射粒子的渐近波函数
的表达式；如果已知散
（2
）从被散射粒子的渐近波函数射振幅
求微分散射截面
读出散射振幅
【答案】（1）该渐进波函数为
其中
令
为径向波函数，则有
另外
时，
上式即
解得而
时，时，
微分散射截面
为电子的总角动量。（
）
故所求为
（2）散射振幅即，
5． 已知
分别为电子的轨道角动量和自旋角动量，
证明
是
的本征态，并就
的共同本征态为相应的本征值。 【答案】
两种情况分别求出其