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2018年仲恺农业工程学院森林培育314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题

  摘要

一、解答题

1.

设三维列向量组

(Ⅱ)

【答案】(Ⅰ)由于4

个三维列向量全为0

的数

又向量组记

和向量组向量

线性表示.

所有非零解,即可得所有非零

的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形:

使得

线性无关;

向量组

构成的向量组一定线性相关,故存在一组不即,

线性无关,故

不全为0

,

即存在非零列向量

不全为0.

使得

可同时由向量组

线性无关,

列向量组

线性无关.

和向量组

线性表示;

(Ⅰ

)证明存在非零列向量

使得

可同时由向量组

时,

求出所有非零列向量

(Ⅱ)易知,

求出齐次线性方程组下面将方程组

于是,方程组的基础解系可选为

_意非零常数.

因此,

所有非零列向量

2.

已知方程组量依次是

(Ⅰ)求矩阵

所有非零解

_

t 为任

有无穷多解,矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向

(Ⅱ

)求【答案】

的基础解系.

当a=-1及a=0时,方程组均有无穷多解。 当a=-l时,

则当g=0时,

则值的特征向量.

线性相关,不合题意. 线性无关,可作为三个不同特征

(Ⅱ

3. 设B

(I

)证明(II

)证明(III

)若【答案】⑴

(II )

(Ⅲ)设

则由

或1. 又存在可逆矩阵p ,

矩阵

且A 可对角化,

求行列式

其中E 是n 阶单位矩阵.

的基础解系,

即为

的特征向量

使或1.

4.

已知通解是

.

, 证明

【答案】

由解的结构知

是4阶矩阵,其中

是齐次方程组

故秩

是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.

又由

可知综上可知

即故

都是

的解.

线性无关.

得的基础解系.

那么

二、计算题

5. 设A , B 都是n 阶矩阵,且A 可逆,证明AB 与BA 相似.

【答案】因A 可逆,

6. 设向量组B

:

线性表示为

无关的充要条件是矩阵K 的秩R (K )=r.

【答案】

方法一、记

于是

,则有B=AK.(2)

但K 含r 列,

即R (K )=r,k 为列满秩矩阵.

必要性:设向量组B 线性无关,知R (B )=r.又由B=AK,

知充分性:设R (K )=r.要证B 组线性无关. 由于

因此,向量组B 线性无关.

方法二、由(2)式,因R (A )=S,A 为列满秩矩阵,则知R (_B)=R(K )。于是B 组线

性无关

7. 求解下列齐次线性方程组:

(1

能由向量组A

:

,其中K

矩阵,且A 组线性无关. 证明B 组线性由定义,AB 与BA 相似.