2018年仲恺农业工程学院森林培育314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1.
设三维列向量组
(Ⅱ)
当
【答案】(Ⅰ)由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记
和向量组向量
线性表示.
所有非零解,即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形:
使得
线性无关;
向量组
则
构成的向量组一定线性相关,故存在一组不即,
线性无关,故
不全为0
,
即存在非零列向量
不全为0.
使得
可同时由向量组
线性无关,
列向量组
线性无关.
和向量组
线性表示;
(Ⅰ
)证明存在非零列向量
使得
可同时由向量组
时,
求出所有非零列向量
(Ⅱ)易知,
求出齐次线性方程组下面将方程组
于是,方程组的基础解系可选为
_意非零常数.
因此,
所有非零列向量
2.
已知方程组量依次是
(Ⅰ)求矩阵
所有非零解
_
t 为任
有无穷多解,矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向
(Ⅱ
)求【答案】
的基础解系.
当a=-1及a=0时,方程组均有无穷多解。 当a=-l时,
则当g=0时,
则值的特征向量.
由
知
线性相关,不合题意. 线性无关,可作为三个不同特征
(Ⅱ
)
3. 设B
是
(I
)证明(II
)证明(III
)若【答案】⑴
(II )
(Ⅲ)设
则由
知
即
或1. 又存在可逆矩阵p ,
矩阵
且A 可对角化,
求行列式
逆
其中E 是n 阶单位矩阵.
知
的基础解系,
即为
的特征向量
使或1.
4.
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵,其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
又由
得
因
与
可知综上可知
,
有
即故
都是
的解.
由
线性无关.
由
是
得的基础解系.
那么
二、计算题
5. 设A , B 都是n 阶矩阵,且A 可逆,证明AB 与BA 相似.
【答案】因A 可逆,
故
6. 设向量组B
:
线性表示为
无关的充要条件是矩阵K 的秩R (K )=r.
【答案】
方法一、记
于是
,则有B=AK.(2)
但K 含r 列,
有
即R (K )=r,k 为列满秩矩阵.
必要性:设向量组B 线性无关,知R (B )=r.又由B=AK,
知充分性:设R (K )=r.要证B 组线性无关. 由于
因此,向量组B 线性无关.
方法二、由(2)式,因R (A )=S,A 为列满秩矩阵,则知R (_B)=R(K )。于是B 组线
性无关
7. 求解下列齐次线性方程组:
(1
)
能由向量组A
:
,其中K
为
矩阵,且A 组线性无关. 证明B 组线性由定义,AB 与BA 相似.