2018年仲恺农业工程学院轻工食品学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
又由
得
因
与
可知综上可知
，
2．
设二次型
有
即故
都是
的解.
由
线性无关.
由
是
得的基础解系.
那么
记
（1）证明二次型f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1）由题意知，
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
故二次型/
对应的矩阵为
（2）证明：
设则
而矩阵A
的秩
，由于
所以
为矩阵对应特征值所以
为矩阵对应特征值
所以
的特征向量；
的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
故f
在正交变换下的标准形为 3．
已知
对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.
此时
是矩阵
的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使为
是二重根，
故
于是
必有两个线性无关的特征向量，
于是
知
解（2E-A ）x=0,
得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，
得特征向量先
再将单位化，得正交矩阵：
且有
4． 已知A 是3阶矩阵
，
（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ;
是3维线性无关列向量，且
（Ⅱ）求A 的特征值和特征向量：
（Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
令
记
因
则有
线性无关，故P 可逆.
即A 与B 相似.
（Ⅱ
）由
A 的特征值为-1, -1，-1.
对于矩阵B ，
由
得
所以
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵
得特征向量
那么由：
即
是A 的特征向量，于是A 属于特征值-1
的所有特征向量是
全为0.
（Ⅲ
）由
知
故
芄中
不
二、计算题
5． 设A 为n 阶矩阵，证明
与A 的特征值相同.
的根，同样
的特征值是特征多项式
的根，
【答案】A
的特征值是特征多项式
从而A
与
的特征值也相同.
但根据行列式性质1，这两个特征多项式是相等的：
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