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一、计算题

1． 当是xOy 面内的一个闭区域时，曲面积

与二重积分有什么关系:

恒

【答案】当为xOy 面内的一个闭区域时，的方程为z=0，因此在取值的为

且

。又在xOy 面上的投影区域即

为自身，因此有

2． 设反常积分

【答案】因为收敛，即 3． 设

【答案】因为

所以因为

所以因为

所以因为

所以

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收敛。证明反常积数

，由于

绝对收敛。

绝对收敛。 收敛，

也收敛，因此

，求

4． 把对坐标的曲面积分

化成对面积的曲面积分，其中： （1）是平面（2）是抛物面【答案】（1）由于

在第一卦限的部分的上侧； 在xOy 面上方的部分的上侧。

取上侧，故在任一点处的单位法向量为

于是

（2）由于

取上侧，故在其上任一点

于是

5． 求图中各画斜线部分的面积：

处的单位法向量为

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【答案】（1）解方程组得到交点坐标为（0, 0）和（1, 1）。

如果取x 为积分变量，则z 的变化范围为[0, 1]，相应于[0, 1]上任一小区间[x，x+dx]的窄条面积近似于高为

、底为dx 的窄矩形的面积，因此有

如果取y 为积分变量，则y 的变化范围为[0, 1]，相应于[0, 1]上任一小区间[y，y+dy]的窄条面积近似于高为dy 、宽为y-y 的的窄矩形面积，因此有

2

（2）取x 为积分变量，则易知x 的变化范围为[0，l]，相应于[0，l]上的任一小区间[x，x+dx]的窄条面积 近似于高为e-e 、底为dx 的窄矩形的面积，因此有

如果取y 为积分变量，则易知y 的变化范围为[l，e]，相应于[l，e]上的任一小区间[y，y+dy]的窄条面积 近似于高为dy 宽为lny 的窄矩形的面积，因此有

（3）解方程组

得到交点坐标为（-3，-6）和（1，2）。

x

如果取x 为积分变量，则x 的变化范围为[-3，l]，相应于[-3，1]上的任一小区间[x，x+dx]的

22

窄条面积近 似于高为（3-x ）-2x=-x-2x+3、底为dx 的窄矩形的面积，因此有

如果用y 为积分变量，则y 的变化范围为[-6，3]，但是在[-6，2]上的任一小区间[y，y+dy]的窄条面积近 似于高为dy 、

宽为

[y，y+dy]的窄条面积近似于高为dy 、宽为

从这里可看到本小题以x 为积分变量较容易做. 原因是本小题中的图形边界曲线，若分为上下

的窄矩形的面积，在[2，3]上的任一小区间

的窄矩形的面积，因此有

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