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一、计算题

1． 某航空公司售票处开展电话订票业务。据统计分析，电话到达过程服从泊松分布，平均到达率为每小时 20个，平均每个业务员每小时可以处理10个电话订票业务。请问该公司应该安装多少台电话，才能使因电话占 线而损失的概率小于10%。 【答案】

假设公司应该安装c 台电话，故

所有电话都占线的概率为:

解得c=5

2． 某工厂有两条生产线生产某一产品，第一生产线每小时生产2个单位产品，第二生产线每小时生产1/2单位产品，正常开工每周40小时，每单位产品获利100元。设: （1）第1目标是生产180个单位产品;

（2）第2目标是限制第一条生产线每周加班不得超过10小时; （3）第3目标避免开工不足;

（4）最后目标是加班时数达到最少。假定两条生产线的开工费用相同。 试建立上面问题的数学模型。

【答案】设第一条生产线每周开工x , 小时，第二条生产线每周开工x2小时，分别赋予四个目标P 1、P 2、P 3、P 4优先因子。

二、证明题

3． . 令试证

【答案

】

为一组

使得

用

左乘上式，并且由共轭关系可知：

令由

知BA=E，所以故得证。

4． 设线性规划问题解。

【答案】其对偶问题为

1

有最优解，B 为最优基，证明单纯形乘子CB 是对偶问题的最优

，A 为为一组A 共轭向量（假定为列向量）对称正定矩阵，

A 共轭向量，它们必线性无关。

则

。

。

设是原问题的最优解，则其对应的基矩阵B 必存在

，由此得

，即可得，

这时Y 是对偶问题的可行解，它使由于原问题的最优解

，使目标函数取值

，即是对偶

问题的最优解，因此单纯形乘子证明:（l ）若（2）若

，是对偶问题的最优解。

（称

条边的圈。

，假设

为G 的最小次）。

5． 设G=（V ，E ）是一个简单圈，令

，则G 必有圈； ，则G 必有包含至少

（3）设G 是一个连通图，不含奇点。证明:从G 中丢失任一条边后，得到的图仍是连通图。 【答案】（l ）因为G （V ，E ）是一个简单圈，故该图中无环，也无重复边。若G 中无圈，则G 可能是树或非连通图，这两种情况均存在悬挂点，即

相矛盾。故假设不成立， 所以，G 必有圈。

（2）若的次至少为

，设与，也至少与

对应的点为v k ，则v k 必与个端点相连。如果v k 与v i 这

个端点相连。由（l ）的结论知，G

个端点不构成圈，那么在端

条边的圈。

v k 至少与这中必有圈（由于对圈中的连通图而言，点处必向外延伸（因为最小次为另一端点，对该圈而言，边数大于

个端点构成圈）。

， 不与其中某点相连，必与其外某点相连）经连通链而到

条，故G 必定 是包含不少于占

（3）证明:因为G 连通且不含奇点，故d （v ）=2n，且该图中无悬挂点。由题（l ）的结论知，G 必有圈。又因为G 是连通的，所以从G 中去掉任一条边，都必在某一圈中。而从圈中去掉任一条边，所得图仍是连通图。

6． 对于M/M/1/∞/∞模型，在先到先服务情况下，试证明:

顾客排队等待时间分布的概率密度是

，并根据该式求等待时间的期望值

为在统计平衡 下顾客的等待时间，则

由a n 的定义，得

，于是有

。

，【答案】令N ’为在统计平衡下一个顾客到达时刻看到系统中已有的顾客数（不包括此顾客）

由定理知，对任何一个输入为最简单流的单服务台或多服务台的等待制排队系统，

恒有

，所以，

到达者遇到系统中顾客数不少于1个顾客，是需要等待的充要条件，因此

①

因为当系统中有n （n ≥l ）个顾客时，其中只有一个顾客正在接受服务，而其余n-1个顾客在排队等待，所以，新到顾客必须在服务台轮空n 次后，才能接受服务。于是，服务台轮空次数m （t ）t的充要条件，因此

②

其次，因为服务时间服从负指数分布，故其输出流，即服务台轮空次数m （t ）是一最简单流，其参数为

因此

③

将③式代入②式，然后再将②式代入①式，得

，其中，

。