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一、计算题

1 图1所示车架的轮子都是半径为R 的均质圆盘, 质量分别为．

轮2的中心作用有与水平

的质量.

线成角的力F , 使轮沿水平面连滚带滑. 设地面与轮子间的滑动摩擦因数为f , 不计车架又滚又滑的情况

.

试以x 、和为广义坐标, 建立该系统的运动微分方程, 并判断F 满足什么条件时会使两轮出现

图1

【答案】受力分析如图2所示

.

图2

系统的动能为:

摩擦力为:

系统与广义坐标相对应的广义力为:

代入拉格朗日方程

得运动微分方程:

轮又滚又滑的条件为:

解得F 应满足的条件为:

2 图1所示滑轮中, 两重物A 和B 的重量分别为．

求支座O 的约束力

.

和

如物A 以加速度a 下降, 不计滑轮质量,

图1

【答案】以整体为研究对象, 受力和加速度分析如图2所示

.

图2

由质心运动定理可得

其中

解得

3． 均质杆AG 与BG 由相同材料制成, 在G 点铰接, 二杆位于同一铅垂面内, 如图1所示.AG=250mm, BG=400mm.若与B 两端点各自移动的距离

.

时, 系统由静止释放, 求当A , B , G 在同一直线上时, A

图1

【答案】建立图2所示坐标系

.

图2

设杆件的线密度为

A 点位移为

B 点位移为

可得初始时质心C 的坐标为

由水平方向质心守恒, 当AGB 在同一条直线上时可得

解得

4． 质量为m 的重物悬挂在刚度系数为k 的弹簧上, 且在光滑的铅垂滑道中运动. 在重物的中心处铰接一个质量为M 、长为21的匀质杆, 杆在铅垂平面内运动, 如图1所示.

（1）试确定系统的自由度并选择广义坐标； （2）写出系统的动能及势能及拉格朗日函数； （3）写出系统的第二类拉格朗日方程； （4）求系统的第二类拉格朗日方程的首次积分.