2017年山东科技大学电气与自动化工程学院843信号与系统考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设线性方程组
的解都是线性方程组
的解空间分别为
是（ ）二次型. 的解，则（ ）。
则
所以
即证秩 2． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2 设二次型矩阵A ，则
是不定二次型，故选B.
【答案】（C ） 【解析】设
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
3． 设向量组线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为 4． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B.
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
所以向量组
线性无关.
线性无关.
则A 与B （ ）.
使
因此A 与B 合同. 5． 设
又
则（ ）•
为空间的两组基，且
【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得
即
由②有
二、分析计算题
6． 设A ，B 是数域K 上的n 阶方阵，X 是未知量方程组
和
分别有1，m 个线性无关的解向量，这里
至少有那么和这里
分别是有
个线性无关的解向量； 必有非零解；
无公共的非零解向量，且
和
的解向量.
而
个线性无关的解向量. 故所证结论成立.
因此齐次
的解空间分别为和
贝U
又
所以
从而有
的充要条件是
所证结论成立
7． 设A 为n 阶方阵，证明：
【答案】因为
所以
故
8． 证明：在实函数空间中，
【答案】三角恒等式，是线性相关的.
所构成的
矩阵. 已知齐次线性
（1）方程组（2）如果（3）如果表示成
那么中任一向量都可惟一地
【答案】（1）由题设，所以另一方面，方程组
（2
）因
方程组
（3）设
和所以必有非零解.
据题设，，所
以与的和是直和，故
是线性相关的. 由此有
故