2017年清华大学医学院869信号与系统和微机原理考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 试证明前四个勒让德多项式在（-1，1）内是正交函数集。它是否规格化?
【答案】前四个勒让德多项式为
在区间（-1, 1）内，
又
根据定义可知，故不是规 格化正交函数集。 2． 若
【答案】因为
，试证
在（-1，l ）内是正交函数集，但由于
，
。
而
所以
的奇偶虚实性
3．
若
（只取单边的频谱）。试证明
其中
【答案】因
，故
4． 试证明:
【答案】利用Wal 的性质
其中
为模2（不进位）加法运算。
二、计算题
5． 有两种不同的方法可以借助现成的N 点FFT 程序、直接计算离散傅里叶的逆变换（IDFT ），试分别证明这两种方法，并相应地画出这两种用N 点FFT 程序、由N 点DFT 系数X[k]直接计算出N 点序列x[n]，即
的计算流图。
【答案】N 点DFT 和IDFT 变换公式为
方法l :先用N 点FFT 程序计算如下图1（a ）:
图1（a ）
证明如下:因有
，则有
这就是N 点DFr 变换公式，证毕。 方法2:先用N 点FFT 程序计算如下图1（b ）:
图1（b ）
证明如下:因有
，则有
这就是N 点DFT 变换公式，证毕。
6． 给定离散系统的差分方程，列写其状态方程和输出方程。
【答案】由差分方程可得系统的转移函数为
，由此可得系统的模拟框图如图所示。 设延时器的输出为状态变量x l （k ）、x 2（k ）、x 3（k ）则
，再计算，计算流图
，再计算，计算流图