2018年安徽农业大学资源与环境学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
已知三元二次型
（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换； （Ⅱ）若A+kE:五正定，求k 的取值. 【答案】（Ⅰ）因为A 各行元素之和均为0,
即值
，
由征向量.
因为
是
的特征向量.
是
1的线性无关的特
，由此可知
是A 的特征
其矩阵A 各行元素之和均为0, 且满足
其中
可知-1是A 的特征值
，不正交，将其正交化有
再单位化，可得
那么令
则有
（Ⅱ）因为A 的特征值为-1, -1, 0, 所以A+kE的特征值为k-l , k-1，k , 由A+kE正定知其特征值都大于0,
得
2． 设线性方程
m
【答案】对线性方程组的增广矩阵
试就
讨论方程组的解的悄况，
备解时求出其解.
作初等行变换，
如下
（1）当
即
且
时
则方程组有惟一答:
（
2）当
且
即
且
时
则方程组有无穷多
可得其一个特解
解. 此时原方程组与同解，解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解.
时
故原方程组的通解为
（3）当
（4）当
3． 已知对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵，
可得a=2.此时是矩阵
即
时
此时方程组无解.
的二重特征值
，求a 的值，并求正交矩阵Q
使为
是二重根，故
于是
必有两个线性无关的特征向量，于是
知
解（2E-A ）x=0, 得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，得特征向量先
再将单位化，得正交矩阵
：
且有
4． 已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵
（
Ⅱ
）求【答案】
的基础解系.
有无穷多解，矩阵A 的特征值是1,
-1
,
0, 对应的特征向
当a=-1
及a=0
时，方程组均有无穷多解。 当
a=-l时
，
则当g=0时，则值的特征向量.
由
知
线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征
（Ⅱ）
知
的基础解系，即为的特征向量
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