2018年陕西师范大学旅游与环境学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
，求
【答案】
令
则且有
1
所以
2． 设线性方程
m
【答案】
对线性方程组的增广矩阵
试就
讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解.
作初等行变换，如下
（1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答:
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（
2）当且
即
且时则方程组有无穷多可得其一个特解
解. 此时原方程组与同解
，
解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解. 时
故原方程组的通解为
（3
）当（4
）当 3．
已知
对角矩阵.
【答案】A
是实对称矩阵，
可得a=2.此时
是矩阵
即
时
此时方程组无解.
的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使为
是二重根，故
于是
必有两个线性无关的特征向量，
于是
知
解（2E-A ）x=0, 得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，得特征向量先
再将单位化，得正交矩阵：
且有
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4．
已知三元二次型
其矩阵A 各行元素之和均为0, 且满足
其中
（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换； （Ⅱ）若A+kE:五正定，求k 的取值. 【答案】（Ⅰ）因为A 各行元素之和均为0,
即值
，
由征向量.
因为
是
的特征向量.
是
1的线性无关的特
，由此可知
是A 的特征
可知-1是A 的特征值
，不正交，将其正交化有
再单位化，可得
那么令
则有
（Ⅱ）因为A 的特征值为-1, -1, 0, 所以A+kE的特征值为k-l , k-1，k , 由A+kE正定知其特征值都大于0,
得
二、计算题
5． 求下列齐次线性方程组的基础解系：
（1
）
（2
）（3
）