2018年陕西省培养单位水土保持与生态环境研究中心603高等数学(丙)之工程数学-线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时
，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
2．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
为任意常数.
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
又由
得
因
与
可知综上可知
，
3． 设A
为
的解为【答案】
由
利用反证法，
假设以有
有
即故
都是
的解.
由
线性无关.
由
是矩阵
且
得的基础解系.
那么
有唯一解. 证明：
矩阵为A 的转置矩阵）.
易知
为可逆矩阵，
且方程组
只有零解.
使
.
所
只有零
有惟一解知
则方程组
. 即
即有
记可逆.
有非零解，即存在
于是方程组
有非零解，这与
解矛盾，故假设不成立，
则
由
.
4．
设
为三维单位列向量，并且
得
证明：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解； （Ⅱ）A
相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
（Ⅱ）由（Ⅰ
）知向量.
又且
另外，由
故可知
为A 的特征值
，为4的2重特征值
，
为对应的特征向量.
为A 的3个
为4的单重特征值.
故A
有零特征值
的非零解即为
对应的特征
【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且
为两个正交的非零向量，从而线性无关.
故
线性无关的特征向量，
记
则
即A
相似于矩阵
二、计算题
5． 设3阶矩阵A
的特征值为对应的特征向量依次为
求A.
【答案】因A 的特征值互异，
故知向量组P 为可逆阵，
且有
用初等行变换求得
线性无关，
于是若记矩阵
则
于是 6．
设
问k 为何值，可使（1）R （A ）=1; （2）R （A ）=2; （3）R （A ）=3.
因
于是R （A ）=2;
【答案】方法一：因A 为3阶方阵，故所以当当k=-2时
，当k=l时，
知R （A ）=1.
方法二：对A 作初等行变换
.
时，R （A ）=3.
又A 的左上角二阶子式不为零，故
于是，（1）当k=l时，R （A ）=1; （2）当k=-2时，R （A ）=2; （3
）当（A ）=3.
且
时，R
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