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一、综合题（计算、解答、证明）

1． 已知系统的差分方程和输入信号分别为

用递推法计算系统的零状态响应。 【答案】求解程序程序

调用

解差分方程

差分方程系数

调用

程序运行结果：

程序运行结果的

波形图如图所示。系统的零状态响应

解差分方程，求系统输出信号

单位脉冲序列，长度

如下：

图

2． 证明：若

为实偶对称，即

则

也为实偶对称。

【答案】根据题意

再利用

的周期性质，上式

进行变量代换，

又因为

为实偶对称，所以

故

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下面我们令

可将上式写为

所以

注意若为奇对称，即

3． 证明DFT 的对称定理，即假设【答案】因为所以

由于

所以

4． 证明离散帕塞瓦尔定理。若

，则

【答案】

5． 已知序列其周期。

【答案】根据题意，

的周期为：

的周期为：

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则为纯虚数并且奇对称，证明方法同上。

证明

判断该序列是否是周期序列，如果是，求出

所以该序列为周期序列：

6． 设系统由下面差分方程描述：

（1）求系统的系统函数H （z ）, 并画出极零点分布图；

（2）限定系统是因果的，写出H （z ）的收敛域，并求出其单位脉冲响应h （n ）; （3）限定系统是稳定性的，写出H （z ）的收敛域，并求出其单位脉冲响应h （n ）。 【答案】⑴

将上式进行Z 变换，得到

因此

零点为z=0。令

求出极点：

极零点分布图如图所示。

图

（2）由于限定系统是因果的，收敛域需选包含

点在内的收敛域，即

求系统的单位脉冲响应可以用两种方法，一种是令输入等于单位脉冲序列，通过解差分方程，其零状态输入解便是系统的单位脉冲响应；另一种方法是求H （z ）的逆Z 变换。我们采用第二种方法。

式中

令

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