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一、计算题

1． 已知图1所示曲线为旋轮线, 其方程为:

一小环M 在重力作用下沿该光滑曲线运动, 求小环的运动微分方程

.

图1

【答案】如图2所示, 以为广义坐标,

图2

选取

时为零势能位置, 可得:

将L=T-V代入拉格朗日方程可得运动微分方程为:

2． 推导第二类拉格朗日方程的过程中, 哪一步用到了完整约束的条件？

【答案】完整约束系统中, 约束条件不含速度, 任一点位置均可以用广义坐标表示为

则

3． 图所示的水平摆和铅垂摆都处于重力场中, 杆重不计, 摆长度1、弹簧刚度系数A 以及摆锤质量m 都是相同的. 试问两个摆微幅摆动的固有频率是否相同？如果二者都脱离了重力场, 其固有频率是否相同？又, 图中的弹簧方向都与摆杆垂直, 如弹簧与摆杆成45°角连接, 其固有频率有什么不同？

图

【答案】摆杆水平与铅垂放置, 其固有频率不相同, 因为摆杆铅垂并沿横向摆动时, 重力对转轴有力矩, 为恢复力之一；而摆杆水平并沿铅垂线微小摆动时, 重力对转轴的力矩不变, 不构成恢复力. 若无重力场, 有质量而无重力作用, 摆杆任意放置都不改变其固有频率.

当弹簧与摆杆成45°时, 弹簧变形量减小为力”将减小为倍, 固有频率降低

4． 在图中, 已知空间力系向点

倍,

力臂减小为

倍, 因而对水平摆杆, 其“恢复

对于铅垂摆杆, 固有频率也将有所降低.

简化得一主矢（其大小为F ）及一主矩（大小、方向均未知）,

点简化的主矩。

又已知该力系向A 点简化为一合力, 合力方向指向O 点。试:

（1）用矢量解析表达式给出力系向

（2）用矢量的解析表达式给出力系向C 点简化的主矢和主矩。

图

【答案】（2）

5． 均质圆柱体A 的质量为m , 在外圆上绕以细绳, 绳的一端B 固定不动, 如图1所示. 当BC 铅垂时圆柱下降, 其初速为零. 求当圆柱体的轴心降落了高度h 时轴心的速度和绳子的张力

.

图1

【答案】以圆柱体A 为研究对象, 建立如图2所示直角坐标系, 受力和运动分析如图2所示. 可得

其中

解得

所以

图2