2017年大连大学信息工程学院820高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而
2． 设A 为4×3矩阵，常数，则
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意
.
则
也不是线性变换，
比如给
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到 3． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
所以A 的特征值为3，3，0；而
是
的一个特解，所以选C.
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
则A 与B （ ）.
4． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
则A 与B （ ）.
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B.
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
使
且由①式得
因此A 与B 合同.
5． 设向量组线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为
所以向量组
线性无关.
线性无关.
二、分析计算题
6． 设
求
其中I 为3阶单位阵，【答案】⑴
为A 的转置
（2）
（3）
7． 设A 、B 均为n 阶实正定矩阵，证明：
（1）如果A-B 正定，则
正定；
正定.
所以有
又已知A-B 正定，所以由于所以
显见，
（2）由于AB=BA，所以
又A-B 正定，且由A 、B 正定知A+B正定. 所以
8． 设％是线性方程组的一个解，
证明:线性方程组的任一个解都可表成
其中
令
则
【答案】线性方程组的任一
解可表
成
（2）如果AB=BA，且A-B 正定，则
【答案】（1）因为A 、B 均为n 阶实正定矩阵，则存在可逆阵P , 使
故正定.
即A+B与A-B 可变换. 正定.
是它的导出方程组的一个基础解系，令
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