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一、选择题

1． 二次型

A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1

方法2 设二次型矩阵A ，则

是不定二次型，故选B. 是（ ）二次型.

由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式

从而否定D ，故选B. 2． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B

【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知

B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.

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则A 与B （ ）.

所以A 的特征值为3，3，0；而

3． 设则3条直线

（其中

）交于一点的充要条件是（ ）

.

【答案】D 【解析】令其中

则方程组①可改写为

则3条直线交于一点

线性无关，由秩

方程组①有惟一解

由秩A=2, 可知可由线性表出.

4． 设行列式

可知线性相关，即可由线性表出，

从而

线性相关，故选D.

为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B

【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得

5．

设次型.

A. B.

为任意实数

不等于0

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则当（ ）时，此时二次型为正定二

C. D. 【答案】D

为非正实数

不等于-1

则

【解析】方法1 用排除法令

这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2

所以当方法3 设

时，f 为正定二次型.

对应的矩阵为A ，则

A 的3个顺序主子式为

所以当方法4令

时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.

所以f 为正定的.

二、分析计算题

6． P 是数域

，

【答案】（1）

（2）由上一问题得

两边消去E 得AB=BA.

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E 是单位阵，且AB=A-B, 证明：