2017年大连大学教育部先进设计与智能计算重点实验室820高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D
【解析】
2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
记
A. B. C. D. 【答案】B
则（ ）.
【解析】由已知，有
于是
3． 设
则3条直线
（其中
）交于一点的充要条件是（ ）
.
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
方程组①有惟一解
由秩A=2, 可知可知线性相关，即可由线性表出，
从而
可由线性表出. 线性相关，故选D.
4． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设
可逆，由于
的伴随矩阵为（ ）.
则分块矩
且
所以
5． 设
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
，
的基础解系，
为任意常数，
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
中不一定线性无关. 而
由于故
是
因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
的基础解系. 又由
二、分析计算题
6． 设T 是数域K 上线性空间V 的一个线性变换，称满足关于高为m 的根向量. 证明：
①
【答案】①由此可知②任取且
是子空间且对T 不变；
作成子空间显然，因为它就是对
并设
则对任意
有
故W 作成子空间，且由①知对T 不变.
7． 决定排列
【答案】下面讨论
①当n=2k为偶数时
其中
即
时即，
②当
为奇数时
其中
即即
当
时，时时，排列，
为奇数，因此为偶数
. 为奇数.
是偶排列，
的向量为T 的
②T 的关于的一切根向量作成的集合W 作成子空间且对T 不变.
与T 可换，故
对T 也不变.
不变. 但因为
的逆序数，并讨论它的奇偶性.
的奇偶性.
为奇数. 因此的奇偶与k 一致
.
为偶数
. 时，
为奇数.
的奇偶与k 一致
.
根据以上讨论，得到下述结论：
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