2018年湖南师范大学数学与计算机科学学院604高等数学之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, 3, 求
【答案】
令
的特征值. 又
：
征值性质得
2． n 阶对称阵的全体V
对于矩阵的线性运算构成一个以A 表示V 中的任一元素，变换换.
【答案】
由变换T 的定义，有
.
因此
，即T 是v 中的变换. 又
维线性空间. 给出卵阶可逆矩阵P ，
是
的全部特征值. 由特是
因1，2, 3是A 的特征值，
故
为3阶方阵，
于是
称为合同变换. 试证明合同变换T 是V 中的线性变
由线性变换的定义，知T 是y 中的线性变换.
3．
设矩阵
【答案】先求x ，y :
因得y=l+x.
因由
再求正交阵P.
对应
解方程（A-5E ）x=0，由
得基础解系
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与相似，求x , y ; 并求一个正交阵P ，使
相似，故A 的特征值是5，-4，y , . 由特征值性质：
5+（-4）+y=A的特征值之和=A的对角元之和=2+x.
是A 的特征值，
有
得x=4.再代入y=l+x，得y=5.于是A
的特征值为
把它们正交化、单位化，得
对应于
解方程（A+4E）x=0, 由
得单位特征向量
则P 是正交阵，且有
4．
设
【答案】
求一个可逆阵P ，使PA 为行最简形.
故并且A 的行最简形为
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5． 验证明：
与向量线性空间.
【答案】
事实上
与
不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法和数乘运算不构成
均是
中与向量不平行的向量，但它们的和平
行于即该集合对于向量的加法不封闭，故不构成向量空间.
6． 判定下列向量组是线性相关还是线性无关：
（1
）
（2
）
【答案】记（1）、（2）中向量所构成的矩阵为A. （1
）
（2
）
7． 用配方法化下列二次型成规范形，并写出所用变换的矩阵：
（1
）（2
）（3
）
令
即
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【答案】⑴由于f
中含变量的平方项，
故把含的项归并起来，配方可得