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一、计算题

1． 无重细绳跨过不计轴承摩擦、不计质量的滑轮. 两猴质量相同, 初始静止在此细绳上, 离地面高度相同. 若两猴同对开始向上爬, 且相对绳的速度大小可以相同也可以不相同, 问站在地面看, 两猴的速度如何? 在任一瞬时, 两猴离地面的高度如何? 若两猴开始一个向上爬, 同时另一个向下爬, 且相对绳的速度大小可以相同也可以不相同, 问站在地面看, 两猴的速度如何? 在任一瞬时, 两猴离地面的高度如何？

【答案】两猴组成的质点系满足动量矩守恒, 因此, 无论何种情况, 在地面上看两猴在任一瞬时速度大小相等, 方向相同, 离地面高度相等.

2． 刚体绕定点运动时，一般情况下其角速度矢与角加速度矢是否在同一直线上？

【答案】因为

一般不在同一直线上.

3． 车厢的振动可以简化为支承于两个弹簧上的物体在铅垂面内的振动, 如图所示. 设支承于弹簧上的车厢质量为m , 相对于质心C 的转动惯量为两轮轴的距离分别为

两弹簧的刚度系数分别为

质心距前后

试列出车厢振动的微分方程

.

图

【答案】如图所示, 以

为广义坐标, 以最低位置为平衡位置.

将L=T-V代入拉格朗日方程可得运动微分方程为:

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则系统的动能和势能分别为:

4． 车轮的质量为m , 沿水平路面作匀速运动, 如图所示. 路面有一凹坑,

其形状由方程

确定. 路面和车轮均看成刚体. 车厢通过弹簧给车轮以压力F , 求车子经过凹坑

时, 路面对车轮的最大和最小约束力

.

图1

【答案】以车轮为研究对象, 如图2所示

.

图2

根据牛顿第二定律可得:因为

所以

解得

当x=0或x=l时约束力最小

当

时约束力最大

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5 质量为m 的均质圆盘, 平放在光滑的水平面上, 其受力情况如图所示. 设开始时, 圆盘静止,

图中．

试说明各圆盘将如何运动

.

图

【答案】（1）圆盘绕质心转动, 质心静止. （2）圆盘向左平移, 质心加速度

圆盘角加速度

（3）圆盘作平面运动, 质心向右作直线运动, 质心加速度

6． 用虚位移原理求图1所示桁架中杆3的内力

.

图1

【答案】如图2所本, 将杆3截开, 设杆3的内力为

图2

由虚功方程可得

由虚速度法可得

即

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