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一、计算题

1． 某班级学生中数学成绩不及格的比率X 服从a=l，b=4的贝塔分布，试求

【答案】贝塔分布Be （1，4）的密度函数为

且由

知

2． 设随机变量X , Y 独立同分布, 在以下情况下求随机变量

（1）X 服从p=0.5的（0-1）分布• （2）X 服从几何分布, 即

【答案】（1）因为X 与Y 的可能取值均为0或1, 所以1, 因此

（2）因为X 服从几何分布, 所以由此得

3． 设9件产品中有2件不合格品，从中不返回地任取2件，求取出的2件中全是合格品、仅有一件合格品和没有合格品的概率各为多少？

【答案】仿抽样模型可得

的可能取值也为0或的分布列.

4． 设随机变量X 的分布函数为

【答案】因为X 为非负连续随机变量，有

由此得

所以

试求E （X ）和W （X ）.

注，此题也可直接计算得，

5． 在20世纪70年代后期人们发现，酿啤酒时，在麦芽干燥过程中会形成致癌物质亚硝基二甲胺（NDMA ），20世纪80年代初期开发了一种新的麦芽干燥讨程，下面为老、新两种过程中形成的NDMA 含量（以10亿份中的份数计）：

表

设两样本分别来自不同的正态总体，并假定两总体方差相等，两样本独立，分别以老、新过程的总体的均值，

试检验

【答案】以x , y 分别表示老、新两种过程下的观测值，其样本方差，则中

的无偏估计为

在原假设

为两个总体的共同方差，

又

检验拒绝域为

现取

现由样本观测值可算得

从而检验统计量的值为于2.

表示分别为

其

分别为其样本均值，成立下有

故在原假设成立

下

查表知，从而拒绝域为

由于观测值落入拒绝域，故拒绝原假设，接受备择假设，即老、新方法在NDMA 含量的差大

6． 一辆重型货车去边远山区送货. 修理工告诉司机，由于车上六个轮胎都是旧的，前面两个轮胎损坏的概率都是0.1，后面四个轮胎损坏的概率都是0.2，你能告诉司机，此车在途中因轮胎损坏而发生故障的概率是多少吗？

【答案】此车在途中因轮胎损坏而发生故障意味着车上的六个轮胎至少有一个发生故障，为此记事件

，其中i=l，2，表示前面两个轮胎，i=3，4，5，6表示后面为“第i 个轮胎发生故障”

又假设车上的

7． 已知离散随机变量X 的分布列为

表

1

试求【答案】

的分布列. 的分布列为

表

2

的分布列为

表

3

8．

设四个轮胎，

则

六个轮胎工作是独立的，则所求概率为

是来自的样本, 试给出一个充分统计量.

【答案】样本的联合密度函数为

令

,

取

, 由因子分解定理

,

的几何平均

为的充分统计量. 另

或其对数

都是的充

外, T 的一一变换得到的统计量,

如

分统计量.

二、证明题