2017年河北大学物理科学与技术学院601理学数学考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 设周期函数f （x ）的周期为2π，证明：
（1）若（2）若【答案】（1）
在上式第二个积分中令
则
同理得
及
当
时，
及
（2）与（1）做法类似，有
当
时，
2． 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性：
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则f （x ）的傅里叶系数则f （x ）的傅里叶系数
于是有
故有
【答案】（1）当p>1时，收敛；当时，时，由
于时，级数
是交错级数，且满足莱布尼茨定理的条件，因而收敛且为条件收敛；
当
，此时级数发散，综上可知，当p>1时，级数绝对收敛；当
条件收敛；当
（2
）
收敛，即原级数绝对收敛。 （3）
则
而级数
发散，
由极限形式的比较审敛法知
发散，而
时，级数发散。
而级数
收敛，
由比较审敛法知
是交错级数且满足
莱布尼茨定理的条件，因而收敛，故该级数条件收敛。
（4）
则
由比值审敛法知
3． 设曲线积分条平面曲线，求：
（1）可微函数（2）求沿L 从原点
。已知到点
的曲线积分。
。
，其中L 为任意一
收敛，即原级数绝对收敛。
【答案】（1）由于任意平面闭曲线的曲线积分都有，即曲线与积分路径无关。
，即
则等式两边x 的系数及不含x 的项应该相等，即
在①式两边对y 求导，并将②代入得
又
又由①式得，（2）由于
，则方程③的特解为
。
，故曲线积分与路径无关，取点
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。
，沿折线
积分得
4． 将xOz 坐标面上的圆
【答案】以即
5． 当是xOy 面内的一个闭区域时，曲面积
与二重积分有什么关系:
恒
绕z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.
代替圆方程
中的x ，得
【答案】当为xOy 面内的一个闭区域时，的方程为z=0，因此在取值的为
且
。又在xOy 面上的投影区域即
为自身，因此有
6． 用对数求导法求下列函数的导数：
【答案】（1）在，得
并注意到y=y（x ）
于是
（2）在
两端取对数，得
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两端取对数，得在上式两端分别对x 求导，