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一、计算题

1． 为减弱发动机的扭振, 在图1所示曲轴上点C 加装一单摆CA. 设摆质量为m , CA=1, OC=a, 曲轴以匀角速度绕轴转动时, 此单摆可作微幅摆动, 忽略重力, 求此单摆的振动频率

.

图1

【答案】选圆盘为动坐标系, 则动坐标系以匀角速度绕轴O 转动, 非惯性系动力学方程为:

忽略重力, 单摆的受力分析如图2所示

.

图2

将式①沿投影可得:

其中, 又因为,

所以,

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所以式②可化为:

当摆角很小时, 有得到单摆运动方程为:

得单摆的固有频率为:

2． 对固结在变速运动的列车上的参考系来说, 地面上静平衡的物体并不平衡, 而随列车一起运动的物体却是平衡的. 试从这一点出发说明惯性力的相对性、虚加性及真实性.

【答案】相对性:地面上静止的物体对地球是无惯性力的, 而相对火车是有惯性力的. 虚加性:地面上静止的物体并未真正受惯性力的作用. 真实性:惯性力真正存在, 是地面与列车之间的作用力.

3． 试用拉格朗日方程推导刚体平面运动的运动微分方程.

【答案】平面运动刚体有三个自由度, 取其质心坐标

和转角的广义坐标. 刚体的动能为

将刚体所受外力向质心简化, 即为三个广义力

代入拉格朗日方程, 有

即

此即为刚体平面运动微分方程.

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4． 弹簧连杆机构如图所示, AB 为均质杆, 质量m=10kg, 长1=0.6m, 其余构件的质量不计. 不计摩擦, 弹簧K 的刚度系数k=200N/m, θ=0时弹簧为原长. 试求系统的平衡位置, 并分析其稳定性

.

图

【答案】如图所示.

以为广义坐标, 则整个系统的势能为

令又因为

所以将当当

代入, 可得:

时, 系统不稳定平衡；

时, 系统稳定平衡. 可解得:

5． 水平均质细杆质量为m , 长为C 为杆的质心. 杆A 处为光滑铰支座, B 端为一挂钩, 如图所示. 如B 端突然脱落, 杆转到铅垂位置时, 问b 值多大能使杆有最大角速度？

图

【答案】初始时刻, 动能为零, 整个过程中只有重力做功, 由动能定理可得:

即

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