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一、简答题

1． 坐标分量算符与动量分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。 【答案】对易关系为

测不准关系为

2． 自发辐射和受激辐射的区别是什么？

【答案】自发辐射是原子处于激发能级时，可能自发地跃迁到较低能级去，并发射出光子的过程；

受激辐射是处于激发能级低能级的。

3． 写出由两个自旋态矢构成的总自旋为0的态矢和自旋为1的态矢。 【答案】总自旋为0:总自旋为1:

4． 请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符

其中，

定义电子的自旋算符，并验证它们

的原子被一个频率为

的光子照射，受激发而跃迀到较

同时发射出一个同频率的受激光子的过程。受激辐射的光子是相干的，自发辐射是随机

5． 试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。

6． 自旋可以在坐标表象中表示吗？

【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。

7． 解释量子力学中的“简并”和“简并度”。

【答案】一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”；一个能级对应的本征函数的数目称为“简并度”。

8． 写出电子自旋的二本征值和对应的本征态。 【答案】

9． 什么是费米子? 什么是玻色子? 两者各自服从什么样的统计分布规律?

【答案】费米子是自旋为半奇数的粒子，玻色子是自旋为整数的粒子. 费米子遵守费米-狄拉克统计规律，玻色子遵从玻色-爱因斯坦统计规律.

10．—个量子体系处于定态的条件是什么？

【答案】量子体系处于定态的条件是哈密顿算符不显含时间或能量取确定值。

二、计算题

11．质量为m 的粒子处于角频率为的一维谐振子势中.

（a ）写出在坐标表象中的哈密顿算符，本征值及本征函数（可不归一化）. （b ）写出在动量表象中的哈密顿算符.

（c ）证明在动量表象中，哈密顿算符的矩阵元为

.

【答案】（a ）在坐标表象中一维谐振子的哈密顿算符为本征值和波函数

（b ）在动量表象中坐标算符可表示为

则哈密顿算符为

（c ）在动量表象中哈密顿的矩阵元可表示为

12．三个自旋为的全同粒子，在一维位势示）。

则一维谐振子的势能为

中运动。

表

（1

）给出这三个粒子体系的基态和第一激发态的能量及相应的本征矢（谐振子波函数以

（2）它们的简并度分别是多少？ 【答案】（1）基态

第一激发态：

（2）基态二重简并，第一激发态四重简并。

13．考虑相距2a 、带电为e 和一e 的两个粒子组成的一个电偶极子，再考虑一个质量为m 、带电为e 的入射粒子，其入射波矢k 垂直于偶极子方向，见图求在玻恩近似下的散射振幅，并确定微分散射截面取最大值的方向。

图

【答案】电偶极子势能为 由波恩近似有散射振幅为散射微分截面为式中

此即所求表达式.

【积分未完成】