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一、简答题

1． 在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态？

【答案】不能。因为在量子力学中，粒子具有波料二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。

2． 分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。 【答案】

3． 解释量子力学中的“简并”和“简并度”。

【答案】一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”；一个能级对应的本征函数的数目称为“简并度”。

4． 写出泡利矩阵。 【答案】

5． 写出测不准关系，并简要说明其物理含义。 【答案】测不准关系

物理含义：若两个力学量不对易，则它们不可能同

时有确定的测值。

6． 波函数是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？么？

的物理含义是什

【答案】波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。表示在时刻附近体积元中粒子出现的几率密度。

7． 有人说“在只考虑库仑势场情况下，氢原子原有本征态都存在实的轨道波函数”，你是否同意这种说法， 简述理由。

【答案】不同意。因为为实函数，但可以为复函数。

8． 将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据

对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于

粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。

9． 试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。

10．扼要说明：

（1）束缚定态的主要性质。

（2）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。

【答案】（1）能量有确定值。力学量（不显含f ）的可能测值及概率不随时间改变。 （2）选择定则：

理论根据：电矩m 矩阵元

二、计算题

11．考虑两个电子组成的系统。它们空间部分波函数在交换电子空间部分坐标时可以是对称的或反对称的。空间部分波函数是反对称时对应总的自旋平方对应总的自旋平方

本征值为

空间部分波函数对称时分别针对空间部分波函

的本征值为

本征值为0。假设两电子系统哈密顿量为

数是反对称和对称两种情形，求体系的能量。（提示：单电子自旋角动量平方算符

）。 【答案】利用应能量：

对应能量：

可知，空间部分波函数反对称时：

对

空间部分波函数对称时：

12．粒子在二维无限深势阱中运动

，（1）写出本征能量和本征波函数； （2）若粒子受到微扰

的作用，求基态和第一激发态能级的一级修正。

【答案】 （1）根据题意，易写出粒子在二维无限深势阱中本征能量和波函数。

（2）基态的一级能量修正

在计算第一激发态能级的一级修正时，由于存在两组简并态利用简并下能级的修正方法计算. 令

则可计算出微扰

所以微扰可表示成

的矩阵表达式

所以

则

得：

13．粒子在势场作【

答

案

】

中运动，其中利

用

波

试用变分法求基态能级的上限。试探波函数可取

函

数

的

归

一

化

公

式

由重新代入

得：

表达式，得：

故基态能量的上限为：

14．设

是自旋为1/2的粒子的沿x 、y 与z 轴的自旋算符，而是某一角度.

在

表象中的的矩阵形式； 化简为粒子自旋算符的线性组合.

（1）写出粒子的自旋算符（2）将述算符的乘积