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一、简答题

1． 能级的简并度指的是什么？

【答案】能级简并度是指对应于同一能量本征值的线性无关的本征态个数。

2． 完全描述电子运动的旋量波函数为

分别表示什么样的物理意义。

【答案

】

表示电子自旋向

下

表示电子自旋向上

3． 反常塞曼效应的特点，引起的原因。 【答案】原因如下：

（1）碱金属原子能级偶数分裂； （2）光谱线偶数条；

（3）分裂能级间距与能级有关；

（4）由于电子具有自旋。

4． 描写全同粒子体系状态的波函数有何特点？

【答案】描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或者反对称的，它们的对称性不随时间变化。

5． 波函数【答案】

与

6． 现有三种能级【答案】一维谐振子．

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试述

及

位置

在处的几率密度

；

的几率。

是否描述同一状态？

描写的相对概率分布完全相同，描写的是同一状态。

请分别指出他们对应的是哪些系统。

对应一维无限深势阱；

对应

对应中心库仑势系统，例如氢原子；

7． 试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。

8． 归一化波函数是否可以含有任意相因子【答案】可以。因为

即用任意相因子归一化。

9． 请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符

10．写出电子在外电磁场【答案】

其中，中的哈密顿量。

定义电子的自旋算符，并验证它们

如果

对整个空间积分也等于1。

对整个空间积分等于1，则

去乘以波函数，既不影响体系的量子状态，也不影响波函数的

二、计算题

11．若是电子的自旋算符，求： （1）（2）【答案】⑴或者：

（2）

12．简述能量的测不准关系。

【答案】能量测不准关系的数学表示式为

即微观粒子的能量与时间不可能同时进行

准确的测量，其中一项测量的越精确，另一项的不确定程度越大。

13．求一宽度为a 且关于原点对称的一维无限深势阱中粒子的坐标在能量表象中的矩阵元. 【提示：

【答案】【注：题中所给积化和差公式有误，正确的积化和差公式为在势阱内有定态方程

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】

】

处于定态时有

则有

由于势函数满足（1）满足偶宇称时有则

设

则波函数满足奇宇称或偶宇称.

注意到①有

有

注意到波函数乘以一个常数描述的仍为同一个状态，则（2）同理，对奇宇称有

再考虑到归一化条件

综合（1）（2）讨论有波函数

本征能量矩阵元即

若m=n,

可得到若

则可得到

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