2017年山东理工大学理学院856高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 求下列函数的自然定义域:
【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）
即定义域为且即定义域为且
且即定义域为
即定义域为即定义域为即定义域为
即定义域为
且
即定义域为
即定义域为
即定义域为
注:本题是求函数的自然定义域，一般方法是先写出构成所求函数的各个简单函数的定义域，再求出这些定义域的交集，即得所求定义域. 下列简单函数及其定义域是经常用到的:
2． 设反常积分
【答案】因为收敛，即
3． 设级数
收敛，且
不一定收敛。
必定收敛，因为
根据收敛数列的保号
收
问级数
是否也收敛？试说明理由。
绝对收敛。
收敛。证明反常积数
，由于
绝对收敛。 收敛，
也收敛，因此
【答案】级数当
是正项级数时，在题设条件下
即有
性知，存在正整数N ，当n ≥N 时有敛，即
当
收敛。
不是正项级数时，
于是，按正项级数的比较审敛法知
可能不收敛。例如：若
然而
发散。
则
收敛，且
4． 求三平面x ＋3y ＋z=1，2x －y －z=0，﹣x ＋2y ＋2z=3的交点.
【答案】联立三平面方程
解得，x=1，y=﹣1，z=3.故所求交点为（1，﹣1, 3）.
5． 求函数
【
在点（0, 0）的n 阶泰勒公式。
答
案
】
又
将以上各项代入n 阶泰勒公式，便得
其中
6． 求下列函数的反函数:
（l ）
。
分析函数存在反函数的前提条件为:
是单射. 本题中所给出的各函数易证均为单射，特别（1）、（4）、（5）、（6）中
的函数均为单 调函数，故都存在反函数。
【答案】（l ）由（2）由（3）由（4）由（5）由（6）由
解得
解得:解得:
，即反函数为
。
。
，即反函数为
，即反函数为，即反函数为
。
，即反函数为
，即反函数为解得:
解得:
。
。 。
解得: