2018年大连海洋大学畜牧学715高等数学Ⅱ之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 证明n
阶矩阵
与相似.
【答案】
设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，
故A 的n 个特征值为
且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且
所以B 的n
个特征值也为
=-B的秩显然为1，故矩阵B 对应n-1
重特征值
对于n-1
重特征值由于矩阵（0E-B ）
的特征向量应该有n-1个线性无关，进一步
矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且从而可
知n
阶矩阵
与相似.
2．
已知矩阵可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由。
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是当
时，由秩
知
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
A 可以相似对角化，因此矩阵A 和B 不相似。 3．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
又由
得
因
与
可知综上可知
，
有
即故
都是
的解.
由
线性无关.
由
是
得的基础解系.
那么
4． 设三阶方阵A 、B
满足式
的值.
其中E 为三阶单位矩阵.
若求行列
【答案】
由矩阵
知则
. 可
逆.
又
故
即
所以
即
而
故
二、计算题
5． 设
证明向量组
【答案】
列向量组
其中系数矩阵K 为
其行列式由（3
）式即得），
从而
与
，
此表明
等价.
，故K 可逆.
能由
线性表示（其表示的系数矩阵为
与向量组
和
等价.
依次构成矩阵A 和B ，于是有B=AK，（3）
6． 试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆阵：
（1
）
（2
）
【答案】记所给的矩阵为A. （1）
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