2018年大连理工大学管理与经济学部806量子力学考研强化五套模拟题
● 摘要
一、填空题
1. —粒子的波函数为【答案】
则
的跃变条件为_____
。若势阱改为势垒
写出粒子位于
间的几率的表达式_____。
2. 粒子在一维势阱中运动,波函数为
则
【答案】
3. —个电子运动的旋量波函数为
的跃变条件为_____。
则表示电子自旋向上、位置在处
的几率密度表达式为_____,表本电子自旋向下的几率的表达式为_____。 【答案】
4. 不确定关系是微观粒子_____性质的数学表述。 【答案】波粒二象性
二、计算题
5. —个电子在沿正Z 方向的均匀磁场B 中运动(只考虑自旋),在t=0时测量到电子自旋沿正X 方向,求在t >0时的自旋波函数以及的平均值. 【答案】
在
表象下,
由
可以解得
:
其中
时态矢为:
分别为朝上和朝下时的波函数.
即t=0
时刻电子自选波函数
电子由于自旋产生的能量对应哈密顿量为:故
状态为的本征态,对应本征值为:
t >0时刻电子自旋波函数应为
写成矩阵形式,即
而
平均值为
6. 一粒子在一维无限深势阱【答案】由一维定态薛定谔方程有
又在边界处应该满足连续条件故
由归一化条件有故对应能量为
7. 已知氢原子在t=0时如下处于状态:
其中,
为该氢原子的第n 个能量本征态。求能量及自旋z 分量的取值概率与平均值,写出t
将t=0时的波函数写成矩阵形式:
中运动,求粒子的能级和对应的波函数.
>0时的波函数。
【答案】已知氢原子的本征值为:
利用归一化条件:
于是,归一化后的波函数为:
能量的可能取值为
相应的取值几率为:
能量平均值为:
自旋z 分量的可能取值为
相应的取值几率为:
自旋z 分量的平均值为:
f>0时的波函数为:
8. 氢原子处在基态(1)r 的平均值; (2)动能的平均值; (3)动量的概率分布函数. 【提示:
【答案】(1) r 的平均值即
5.10仿照5.3节,在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级
和简并度,与三维各向同性谐振子比较.[上]3.9题 (2)由维里定理
(为势能关于r 的幂次)有动能平均值
其中玻尔半径
求:
】
而氢原子基态能量为