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一、填空题

1． 在量子力学原理中. 体系的量子态用希尔伯特空间中的_____来描述. 而力学量用_____描述. 力学量算符必为_____算符，以保证其_____为实数.

【答案】函数矢量；张量（一般是二阶张量，即矩阵）；厄米；本征值

【解析】希尔伯特空间中的函数矢量对应体系的量子态，力学量对应张量，一般情况下力学量对应二阶张量，也就是矩阵. 力学量算符必须保证其厄米性，否则将导致测量值即其本征值不是实数，这显然不符合事实.

2． 二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有两种表象，分别为_____和_____; 它们的力学量完全集分别是_____和_____; 在两种表象中，各力学量共同的本征态分别是_____和_____。 【答案】耦合表象；非耦合表象

；

3． 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为_____，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为_____。

【答案】

4． 描述微观粒子运动状态的量子数有_____; 具有相同n 的量子态，最多可以容纳的电子数为_____个。 【答案】

二、计算题

5． —质量为m 的粒子限制在宽度为2L 的无限深势阱当中运动. 势阱为现在势阱的底部加一微扰态的能量。

【答案】未施加微扰前，粒子本征波函数以及相应本证能量为

显然为非简并态。

微扰为故

由

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其中试利用一阶微扰理论计算第n 激发

故激发态的一级近似能量为

6． 考虑一维双势阱：

（1）推导在x=a处波函数的连接条件. （2）对于偶宇称的解，即征值的数目.

【答案】（1）薛定谔方程可表示为

OT 为粒子质量，

为方程的奇点，在x=a

点处

对上述方程积分

得出

（2）由题意知当x ＞a 时

，当-a ＜x ＜a 时，

其中

其中

考虑到束缚态，因此解为

考虑到偶宇称，因此解为

结合x=a处的边界条件和此处的波函数连续条件，可得

化去A , C后可得，

此即能量本征值所需要满足的方程.

不存在，表现为

不连续。

求束缚态能量本征值满足的方程，并用图解法说明本

其中

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图

所以满足此方程的本征值只有一个.

7． 两个无相互作用的粒子（质量均为m ）置于一维无限深方势阱（函数。

（1）两个自旋为的可区分粒子。 （2）两个自旋为的全同粒子。

【答案】（1）对于自旋的二个可区分粒子，波函数不必对称化。 基态：总能量为

而波函数为

有4重简并。

）中。对下列两种情况

写出：两 粒子体系可具有的两个最低总能量值，相应的简并度以及上述能级对应的所有二粒子波

第一激发态：总能量为其波函数为有8重简并。

（2

）自旋非简并。

的二个全同粒子，总波函数必须是反对称的。故基态:

总能量为

波函数为

第一激发态：总能量为波函数为4重简并。其中，

代表二粒子自旋单态

，

代表自旋三重态。

8． 一自由的三维转子的Hamiltonian

为（1）求能谱与相应的简并度；

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式中，是轨道角动量算符，1是转子的转动惯量。