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一、简答题

1． 能级的简并度指的是什么？

【答案】能级简并度是指对应于同一能量本征值的线性无关的本征态个数。

2． 假设体系的哈密顿算符不显含时间，而且可以分为两部分：一部分是（非简并）和本征函数

已知：另一部分

很小，可以看作是加于

它的本征值

上的微扰. 写出在非简并

状态下考虑一级修正下的波函数的表达式? 及其包括了一级、二级能量的修正的能级表达式。 【答案】

一级修正波函数为二级近似能量为

其中

3． 以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。 【答案】在量子力学中，能量

用算符表示，

当体系处于某个能量态

的作用是得到这一本征值，即

当体系处于一般态

的本征态

时，算符对

的作

时，算符对态

用是得到体系取不同能量本征值的几率幅（从而就得到了相应几率），即

二、综合分析题

4． 已知二维谐振子的哈密顿算符为微扰论求

在对其施加微扰

后，利用

基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。提示

：

其中

，

为线谐振子的第n 个本征矢。

的

解

为

【答案】体系的哈密顿算符为已

知

其中，

将前三个能量与波函数具体写出来：

对于基态而言，利用公式

体系无简并。

可知：

显然，求和号中不为零的矩阵元，只有

于是得到：

第二激发态为三度简并，在简并子空间中，能量一级修正满足的久期方程为：

其中，于是得到：

5． 质量为的粒子沿x 方向以能量£向尤=0处势阶运动。势粒子几率有多大？

【答案】写出分区薛定谔方程为：

问在x=0处被反射的

整理得：

解得：

由x=0处的连续性条件，可得：

解得：

从而几率流密度为：

所以，反射几率：满足：

6． 证明, （2）若

透射几率：

（1）若力学量算符有共同本征函数，则

有共同本征函数，记为

的本征值都没有简并）。

则:

对易，则它们有共同本征函数系（假设

【答案】（1

）若力学量算符

而任意波函数总可展开为的组合则有：

任意，故

（2）若方程：由

有：

对易，且

即

的本征值都没有简并，先设

有完备的本征函数系

满足本征

上式表明

是算符

的属于本征值的本征函数，由于没有简并描述体系的

同一状态，两者只能相差一个常数因子，记这一因子为

这是算符的本征值方程，

即综上，

也是的本征函数。

和

有共同的本征函数集

得：

7． 体系的三维空间是由三个相互正交的态矢

的矩阵形式如下：

构成的，以其为基矢地两个算符

和

其中

为实常数。证明算符

是厄米特算符，并且两者相互对易，进而求出它们的共同

或者

题中所给出的哈密顿

本征函数。

【答案】由厄米特算符的定义知，厄米特算符