2018年北京航空航天大学物理科学与核能工程学院691物理一之量子力学教程考研核心题库
● 摘要
一、简答题
1． 自旋可以在坐标表象中表示吗？
【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。
2． 描写全同粒子体系状态的波函数有何特点？
【答案】描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或者反对称的，它们的对称性不随时间变化。
3．
写出角动量的三个分量【答案】这三个算符的对易关系为
的对易关系.
二、综合分析题
4． 将质子看作是半径为R 的带电球壳，半径
，
（其中e 为基本电荷值，
为玻尔
）, 计算由于质子（即氢原子核）的非点性引起氢原子基态能级的一级修正。
的形式，其中
利用非简并微扰理论，有：
【答案】将系统哈密顿量写为已知氢原子的基态波函数为
因为因此有：
5． 两个自旋出该全
的电子束缚在一维无限深方势阱内，忽略两电子间的相互作用，试写
同粒子体系基态及第一激发态的能量和状态波函数，并讨论能量的简并度。 【答案】忽略相互作用时，体系的能量本征值为：
体系的总波函数是反对称的：
（1）基态
基态能量为
基态波函数为：
可见基态能级不简并。 （2）第一激发态，激发态能量为
可形成如下态： 单态：
其中.
，都是厄米算符写出
用表示的形式。
三重态：
6 证明任何一个算符都可以写成．【答案】令且有
得证。
利用：
或
则容易验证：
7． 有一量子体系由哈密顿量特算符，且有（1
）若算符
在
描述，其中，可视为微扰，
求
是厄米在微
的非简并基态上的平均值已知，且分别记为
扰后的非简并基态上的平均值，准确到量级。 （2）将上述结果用在如下三维问题上，基态上
【答案】（1）设
的平均值，准确到量级。 满足
则哈密顿算符
的基态波函数的一级近似为：
利用归一化条件：
若准确到量级，则一级近似波函数已经归一化。 在微扰后的基态的一级近似之下计算的平均值，得到：
再利用
并略去的二次项，得：
（2）取
使得
同理可知：
当取
时，有：
当
时，有：
计算在微扰后非简并