2018年华南农业大学理学院705高等代数之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、填空题
1．
已知
【答案】3或-1 【解析】因
为
即由于
线性无关，故必有
因为
不全为0, 所以上述齐次方程组有非零解. 系数行列式必为0, 于是
从而
线性相关，故有不全为0
的
使
线性无关，若
线性相关，则_____.
2． 5
阶行列式=_____.
【答案】
【解析】将其余各列均加到第1列后，按第1列展开行列式，有
3． 设A 是主对角线元素之和为-5的三阶矩阵，且满足是_____.
【答案】1，-3，-3
【解析】设，是矩阵A 的特征值
，是相对应的特征向量，
即
由
有
又因
故
知取值为1和-3,
再由 4．
设通解为_____.
【答案】
又方程组
的解为：
知矩阵A 的特征值是1, -3, -3.
那么根据
那么矩阵A 的三个特征值
是正交矩阵. 将4
以行分块为
则方程组的
【解析】由A 是正交矩阵，
知
二、选择题
5． 设A 、B 为n 阶矩阵，考虑以下命题：①A 与B 等价；②A 与B 相似；③A 与B 合同；A 与B 为正定矩阵.
用“
A. B.
C. D. 【答案】C
【解析】若A 、5为正定矩阵，则A 、S 均合同于单位矩阵，从而A 、B 为合同矩阵，而合同的矩阵的秩相同，则有A 与B 等价，故C 项成立，其余三个选项均可构造反例说明其不成立.
6．
设向量组
向量组则正确命题是（ ）。
A. B.
无关
相关
”表示命题P 可推出命题Q , 则（ ）.
C. D.
【答案】D 【解析】
若
线性相关；
当
相关
无关
则
时
线性无关；当
线性无关时
时
既可能线性
线性无关.
可知当
无关亦可能线性相关，所以AB 两项均错误，选项C 为选项A 的逆否命题，当然也是错误的.
7． 设三阶矩阵A 的特征值是0, 1, -1, 则下列命题中不正确的是（ ）。
A. 矩阵A-E 是不可逆矩阵 B. 矩阵A+E和对角矩阵相似
C. 矩阵A 属于1与-1的特征向量相互正交 D. 方程组Ax=0的基础解系由一个向量构成 【答案】C
A 项，-1, 因此矩阵A-E 的特征值是-1, 0, -2.
由于【解析】因为矩阵A 的特征值是0, 1，矩阵A-E 的特征值，所以A-E 不可逆.
B 项，因为矩阵A+E的特征值是1, 2, 0, 矩阵A+E有三个不同的特征值，所以A+E可以相似
对角化（或由
而知A+E可相似对角化）。
D 项，因为矩阵A 有三个不同的特征值，知
因此
从而齐次方程组Ax=0
的基础解系由
个解向量构成.
是
C 项，若A 是实对称矩阵，则不同特征值的特征向量相互正交，而一般n 阶矩阵，不同特征值的特征向量仅仅线性无关并不正交.
8． 设A , B 均n 阶实对称矩阵，若A 与B 合同，则（ ）。
A.A 与B 有相同的特征值 B.A 与B 有相同的秩 C.A 与B 有相同的特征向量 D.A 与B 有相同的行列式 【答案】B
【解析】B 项，按定义，若存在可逆矩阵C
使故有
ACD 三项，
令
此时A 的特征值是1, 1, B 的特征值是1, 4
;
则有
即A 与B 合同.
则称A 与B 合同. 因为矩阵C 可逆，
是A 的特征向量，但不是B 的特征向量；
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