2018年西北农林科技大学风景园林艺术学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
已知
对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.
此时
是二重根，
故
于是
必有两个线性无关的特征向量，
于是
知
是矩阵
的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使
为
解（2E-A ）x=0,
得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，
得特征向量先
再将单位化，得正交矩阵：
且有
2．
已知其中E
是四阶单位矩阵是四阶矩阵A 的转置矩阵
，
求矩阵A
【答案】
对
作恒等变形，
有即
由
故矩阵可逆.
则有
以下对矩阵做初等变换求逆，
所以有
3．
已知
，求
【答案】
令
则且有
1
所以
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4
．
已知矩阵可逆矩阵
P ，
使
和
若不相似则说明理由.
试判断矩阵
A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A
的特征多项式
得到矩阵A 的特征值是
由矩阵B 的特征多项式
得到矩阵B 的特征值也是
当
时，由秩
知
A 可以相似对角化. 而
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
时矩阵B 只有1个线性无
只有1个线性无关的解，即
关的特征向量，矩阵B 不能相似对角化. 因此矩阵A 和B 不相似.
二、计算题
5． 设
问k 为何值，可使（1）R （A
）=1; （2）R （A ）=2;
（3）R （A ）=3.
因
于是R （A ）=2;
【答案】方法一：因A 为3阶方阵，故
所以当当k=-2时，当k=l时，
知R （A ）=1.
时，R （A ）=3.
又A 的左上角二阶子式不为零，故
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