2018年北京大学物理学院612量子力学考研强化五套模拟题
● 摘要
一、简答题
1． 分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？
【答案】当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。
2． 写出泡利矩阵。 【答案】
3． 什么样的状态是定态，其性质是什么？
【答案】定态是能量取确定值的状态，其性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变
4． 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？
【答案】在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。在弱磁场中，原子发出的
每条光谱线都分裂为
条（偶数）的现象称为正常塞曼效应。原子置于外
电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。
5．
写出角动量的三个分量【答案】这三个算符的对易关系为
6． 写出电子在外电磁场【答案】
中的哈密顿量。
的对易关系.
7． 量子力学中的可观测量算符为什么应为厄米算符？
【答案】实验上可以观测的力学量的平均值必须为实数，而体系在任何量子态下平均值为实数的算符必为厄米算符，因此这要求可观测量算符应为厄米算符。
8． 简述波函数的统计解释。
【答案】波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
9． 写出测不准关系，并简要说明其物理含义。 【答案】测不准关系
时有确定的测值。
10．自发辐射和受激辐射的区别是什么？
【答案】自发辐射是原子处于激发能级时，可能自发地跃迁到较低能级去，并发射出光子的过程；
受激辐射是处于激发能级低能级的。
的原子被一个频率为
的光子照射，受激发而跃迀到较
同时发射出一个同频率的受激光子的过程。受激辐射的光子是相干的，自发辐射是随机
物理含义：若两个力学量不对易，则它们不可能同
二、证明题
11．证明么正变换不改变算符的本征值。
【答案】设在某一表象下，一个幺正变换的矩阵表示为S 。对任意算符，其在该表象下的矩阵表示为F ， 则对其进行么正变换后的矩阵表示为：
由于相似变换不改变矩阵本征值，故与F 本征值相同，因此么正变换不改变算符本征值。
12．证明厄密算符的本征值是实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符？ 【答案】以表示的本征值
由此得
表示所属的本征函数，则
即是实数。
因为是厄密算符，于是有
三、计算题
13．在表象中，电子波函数可表示为【答案】式中，波函数
，
代表
（自旋向上）的状态波函数，
代表
简要说明其物理意义。 （自旋向下）的状态
代表自旋向上的概率
，
代表自旋向下的概率，归一化表示为
：
14．两个无相互作用的粒子（质量均为m ）置于一维无限深方势阱（函数。
（1）两个自旋为的可区分粒子。
）中。对下列两种情况
写出：两 粒子体系可具有的两个最低总能量值，相应的简并度以及上述能级对应的所有二粒子波
（2）两个自旋为的全同粒子。
【答案】（1）对于自旋的二个可区分粒子，波函数不必对称化。 基态：总能量为
而波函数为
有4重简并。
第一激发态：总能量为其波函数为有8重简并。
（2
）自旋非简并。
的二个全同粒子，总波函数必须是反对称的。故基态:
总能量为
波函数为
第一激发态：总能量为波函数为4重简并。其中，
代表二粒子自旋单态
，
代表自旋三重态。
15．粒子在二维无限深势阱中运动
，（1）写出本征能量和本征波函数； （2）若粒子受到微扰
的作用，求基态和第一激发态能级的一级修正。
【答案】 （1）根据题意，易写出粒子在二维无限深势阱中本征能量和波函数。
（2）基态的一级能量修正
在计算第一激发态能级的一级修正时，由于存在两组简并态利用简并下能级的修正方法计算. 令
则可计算出微扰
所以
的矩阵表达式