题目：板振动问题的新解法

本文研究板振动问题的新解法，核心内容包括板振动问题的新精确解法、新数值解法及考虑热磁弹性板振动问题的新数值解法，还包括圆柱薄壳自由振动问题的精确与数值解法，其中一些研究成果是突破性的进展。具体工作可总结为如下内容：（1）突破了薄板横向自由振动问题100多年来的传统求解方法，即“逆法”或“凑合法”，脱离辛本征函数展开求解方法，采用分离变量方法求解薄板横向自由振动的哈密顿辛对偶形式的本征值问题，得到各向同性矩形薄板在简支（S）和固支（C）任意组合边界下的精确解，其中SSCC、SCCC和CCCC三种精确解过去无法求得。（2）提出了直接分离变量方法，并利用该法求得矩形正交各向异性薄板的上述三种新的精确解，并给出了所得精确解正确性的数学证明。值得强调的是，直接分离变量方法与辛对偶体系无关。（3）求得了矩形板面内自由振动的各种可能的精确解，突破了过去只能求得边界条件对称情况精确解的局限。采用直接分离变量方法求得了一组对边为两种简支边界任意组合，另外一组对边为简支、固支、自由任意组合边界时的精确解，解决了过去精确求解方法中的重频、漏频和识别模态问题。（4）推导得中厚板横向自由振动的两种新的特征微分方程组，采用直接分离变量方法求得了其封闭解。该封闭解具有与薄板理论的封闭解相似的形式，对各种厚度的中厚板自由振动问题足够精确，可用来求解中厚板在简支、固支任意组合边界下的自由振动问题；如果有一组对边简支，则另外一组对边中可以包含自由边。（5）基于微分求积原理、高斯-洛巴托求积原理及变分原理，提出了微分求积有限单元方法。它综合了微分求积方法的高精度优点及有限元方法的优点，克服了二者的一些不足，与微分求积方法及微分求积单元方法截然不同，在各种弹性力学问题的试函数中这种新方法仅需要函数值，其精度很高、收敛速度很快、单元矩阵的计算十分简便。（6）实现了升阶谱有限单元方法C0和C1单元的边界和内部的同时升阶，首次把微分求积方法应用于升阶谱有限元方法中导数的计算。由于微分求积方法是完备的且仅需要函数值，因而显著提高了导数计算的精度和效率，从而使升阶谱有限元方法基底函数的阶次大幅度提高。这一方法被命名为升阶谱求积单元方法，其求微分结点和高斯点统一，具有简洁的单元矩阵计算方法。（7）首次把微分求积这一高精度、快速收敛的数值方法应用于热磁弹性应力分析，并求解了过去难以求解的矩形导体板受变化磁场作用并具有时变边界条件的热磁弹性问题，给出了其电磁场、温度场和弹性场的基本方程，用图示的形式给出了磁场、电流、温度变化及动态应力和变形。（8）给出了求解圆柱薄壳固有振动精确解的一般方法，并求得了简支圆柱薄壳的精确解；给出了用微分求积方法求解各种边界条件下圆柱薄壳自由振动问题的方法，并与简支圆柱薄壳的精确解做了比较。