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一、简答题

1． 完全描述电子运动的旋量波函数为

分别表示什么样的物理意义。

【答案

】

表示电子自旋向

下

表示电子自旋向上

的几率。

位置

在

处的几率密度

；

试述

及

2． 试比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。

【答案】对于粒子，共同点是颗粒性，即是具有一定质量、电荷等属性的客体；不同点是经典粒子遵循经典决定论，沿确定轨道运动，微观粒子不遵循经典决定论，无确定轨道运动。 对于波，共同点是遵循波动规律，具有相干迭加性；不同点是经典波是与某个客观存在的物理量的周期性变化在空间中的传播相联系的量子力学中的物质波不存在这样的物理量，它只是一种几率波。

3． —个量子体系处于定态的条件是什么？

【答案】量子体系处于定态的条件是哈密顿算符不显含时间或能量取确定值。

4． 放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这与什么量子效应有关？

【答案】与量子隧穿效应有关。

5．

写出角动量的三个分量【答案】这三个算符的对易关系为

6． 自发辐射和受激辐射的区别是什么？

【答案】自发辐射是原子处于激发能级时，可能自发地跃迁到较低能级去，并发射出光子的过程；

受激辐射是处于激发能级低能级的。

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的对易关系.

的原子被一个频率为的光子照射，受激发而跃迀到较

同时发射出一个同频率的受激光子的过程。受激辐射的光子是相干的，自发辐射是随机

7． 描写全同粒子体系状态的波函数有何特点？

【答案】描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或者反对称的，它们的对称性不随时间变化。

8． 以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。 【答案】在量子力学中，能量

用算符表示，

当体系处于某个能量态

的作用是得到这一本征值，即

当体系处于一般态

的本征态

时，算符对

的作

时，算符对态

用是得到体系取不同能量本征值的几率幅（从而就得到了相应几率），即

9． 反常塞曼效应的特点，引起的原因。 【答案】原因如下：

（1）碱金属原子能级偶数分裂； （2）光谱线偶数条；

（3）分裂能级间距与能级有关；

（4）由于电子具有自旋。

10．分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。 【答案】

二、证明题

11．证明厄密算符的本征值是实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符？ 【答案】以表示的本征值

由此得

12．（1）设（2）试将【答案】（1）

表示所属的本征函数，则

即是实数。

的线性叠加. 其中为单位算符.

利用

化简可得：

（2）

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因为是厄密算符，于是有

与pauli 算符对易，证明

表示成

三、计算题

13．两个无相互作用的粒子（质量均为m ）置于一维无限深方势阱（函数。

（1）两个自旋为的可区分粒子。 （2）两个自旋为的全同粒子。

【答案】（1）对于自旋的二个可区分粒子，波函数不必对称化。 基态：总能量为

而波函数为

有4重简并。

）中。对下列两种情况

写出：两 粒子体系可具有的两个最低总能量值，相应的简并度以及上述能级对应的所有二粒子波

第一激发态：总能量为其波函数为有8重简并。

（2

）自旋非简并。

的二个全同粒子，总波函数必须是反对称的。故基态:

总能量为

波函数为

第一激发态：总能量为波函数为4重简并。其中，

代表二粒子自旋单态

，

代表自旋三重态。

14．已知二阶矩阵A 、B 满足：【答案】根据定义由于

故得：

有：

在B 表象中，求出矩阵A 、B 。

由此式求出B 的本征值为0，1。

在B 表象中，B 为对角矩阵，对角矩阵元等于本征值，所以B 可以表示为：

设：

则有：

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