2018年山西师范大学化学与材料科学学院620量子力学考研核心题库
● 摘要
一、简答题
1． 请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符
2． 写出泡利矩阵。 【答案】
3． 写出测不准关系，并简要说明其物理含义。 【答案】测不准关系
物理含义：若两个力学量不对易，则它们不可能同
其中，
定义电子的自旋算符，并验证它们
时有确定的测值。
4． 什么是费米子? 什么是玻色子? 两者各自服从什么样的统计分布规律?
【答案】费米子是自旋为半奇数的粒子，玻色子是自旋为整数的粒子. 费米子遵守费米-狄拉克统计规律，玻色子遵从玻色-爱因斯坦统计规律.
5． 已知为一个算符满足如下的两式么正算符？
【答案】满足关系式（a ）的为厄密算符，满足关系式（b ）的为幺正算符。
6． 什么是量子跃迁？什么是选择定则？线偏振光和圆偏振光照射下的选择定则有什么区别？ 【答案】量子跃迁是指在某种外界作用下，体系在不同的定态之间跃迁。
选择定则：从一个定态到另一个定态之间的跃迁概率是否为零，也即跃迁是否是禁戒的。 线偏振光选择定则：圆偏光选择定则：
7． 分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？
问何为厄密算符？何为
【答案】当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。
8．
写出角动量的三个分量【答案】这三个算符的对易关系为
9． 什么是隧道效应，并举例说明。
【答案】粒子的能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应，如金属电子冷发射和衰变现象都是隧道效应产生的。
10．试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。
的对易关系.
二、证明题
11．假设A 、B 、C 是三个矩阵，证明【答案】
12．证明，
【答案】因为
可得：
所以
三、计算题
13．考虑自旋为的系统。 （1）试在
表象中求算符
的本征值及归一化的本征态。其中
是角动量算符，
而4、5为实常数。
（2）假定此系统处于以上算符的一个本征态上，求测量得到结果为的概率。 【答案】（1）设设本征值为
有
则在
设
解得本征态为：
表象中
为归一化的本征态，
则由本征方程
（2）在
表象中，
的本征态为
故发现
的概率为：
14．一质量为m 的粒子，可在宽为a 无限深势阱当中自由运动. 在t=0的初始时刻其波函数为
其中A 为实常数. （1）求A 使平均值？
（3）求t 时刻的波函数
满足归一化条件.
（2）如果进行能量测量，则能得到哪些能量值? 相应取这些能量值的概率又是多少? 再计算能量的
【答案】（1）无限深方势阱中粒子的本征波函数为初始时刻波函数可化为
由归一化条件有
（2）无限深方势阱中粒子的本征能量为
解得
.
故粒子可能测得能量即
测得能量的平均值为（3） t 时刻波函数为