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一、计算题

1． 切尾均值也是一个常用的反映样本数据的特征量, 其想法是将数据的两端的值舍去, 而用剩下的当中的值来计算样本均值, 其计算公式是是切尾系数

的学习情况, 以下数据是大学生每周用于看电视的时间:

取

试计算其切尾均值.

当

. 时, 由题意得, 切尾均值

2． 设离散随机变量X 服从几何分布以此求E （X ）和

【答案】记

则

它的前二阶导数为

由此可算得几何分布的期望和方差为

3． 设

和

分别来自总体

和

的两个独立样本.

试求

. 试求X 的特征函数, 并

【答案】将样本进行排序得

, 其中

是有序样本. 现我们在某高校采访了16名大学生, 了解他们平时

的最大似然估计.

【答案】合样本的似然函数为

对数似然函数为

将对数似然函数对

分别求导并令其为0, 得

由此得到

的最大似然估计为

4． 甲掷硬币n+2次，乙掷n 次，求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率.

【答案】记A={甲掷出的正面数>乙掷出的正面数}， B={甲掷出的反面数>乙掷出的反面数}. ，又因为由对称性知：P （A ）=P（B ）由此得注意到

且

AB={甲的正面数>乙的正面数，甲的反面数>乙的反面数} ={甲的正面数-乙的正面数=1，甲的反面数-乙的反面数=1] ={甲的正面数-乙的正面数=1}. 所以有

将此结果及P （A ）=P（B ）代入（1）得

，均有

注：当乙掷n 次硬币时，无论是甲掷n+1次（上题）还是n+2次（本题）中得

所以

所以

即

且由对称性，本题和上一题都有P （A ）=P（B ）. 而本题与上一题的不同点在于：本题

<而上一题中

因此对上一题我们可以由以下更简便的方法去计算：

即

当甲掷n+1次硬币，乙掷n 次硬币时，由对称性知P （A ）=P（B ）. 且由

5． 在长为a 的线段的中点的两边随机地各选取一点, 求两点间的距离小于a/3的概率.

【答案】记X 为线段中点左边所取点到端点0的距离, Y 为线段中点右边所取点到端点a 的距离, 则

且X 与Y 相互独立, 它们的联合密度函数为

而P （x , y ）的非零区域与

的交集为图阴影部分, 因此, 所求概率为

图

6． 设随机变量X 的概率密度为

（1）求Y 的分布函数； （2）求概率

从而a=9.

令随机变量

【答案】（1）先求常数a 的取值：设随机变簠Y 的分布函数为

则

故随机变簠Y 的分布函数为

故