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一、简答题

1． 什么是隧道效应，并举例说明。

【答案】粒子的能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应，如金属电子冷发射和衰变现象都是隧道效应产生的。

2． 厄米算符的本征值与本征矢

分别具有什么性质？

【答案】本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系。

3． 波函数是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？么？

的物理含义是什

【答案】波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。

表示在时刻附近

体积元中粒子出现的几率密度。

二、计算题

4． 设一维粒子的HamiltonianH ，坐标算符为x. 利用利用能量本征态的完全性关系，

将

用

【答案】利用于是

5． 一粒子在力学量的三个本征函数

所张成的三维子空间中运动，其

可得即

和E. ，表出，其中

是能量本征值为E. ，的本征矢。

能量算符

和另一力学量算符的形式如（1）求的本征值和相应的归一化本征矢（用（2）证明的平均值不随时间变化. 【答案】（1）由

令

可得

其中a , b为实数。 表示）：

由久期方程可得：解得能量算符的三个本征值

将式中各个值代入式中可以得到

其中k 为

的平均值，而

其中由

为3行的任意列矩阵，则式和

式可知

即的平均值不随时间变化.

6． 某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。已知单粒子“轨道”态只有3种

：

（1）无自旋全同粒子。 （2）自旋

的全同粒子（例如电子）。

【答案】（1） s=0, 为玻色子，体系波函数应交换对称。

有如下六种：

试分别就以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目。

（2）单粒子态共有如下六种：

任取两个，可构成体系（交换）反对称态，如：

体系态共有或者，

从

种，即十五种。

三种轨道态任取两个，则可以构成一种轨道对称

态

及一种反对称态

态，共三种。 后者应与自旋三重态但轨道对称态还有

相乘而构成体系反对称态，共3×3 = 9种。

型，共三种型，各与自旋单态配合，共三种体系态，故体系态共

前者应与自旋单态

相乘，而构成体系反对称

3+3+9=15种。

7． （1）写出全同粒子体系的态所满足的交换对称性以及随时间演化的动力学方程； （2）考虑由2

个全同费米子（

表示出体系可能的状态。

【答案】（1）全同粒子系的波函数

：随时间演化的动力学方程

：（2）用

对称性波函数

；

反对称性波函数。其

）组成的体系，

设可能的单粒子态为

试用

表示出体系可能的状态如下：

8． 简述能量的测不准关系。

【答案】能量测不准关系的数学表示式为

即微观粒子的能量与时间不可能同时进行

准确的测量，其中一项测量的越精确，另一项的不确定程度越大。

9． 设无外势场时，质量为能量为E ＞0的粒子的状态用球面波描写. 试 （1）导出决定S 波（1=0）波函数的常微分方程；