2017年大连海事大学数学系835高等代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 半径为r 的球沉如水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，需作多少功？
【答案】取x 轴的正向铅直向上，沉入水中的球心为原点，并取x 为积分变量，则x 的变化范围为[-r，r]对应区间[x，x+dx]的球的薄片的体积为
由于该部分在水面以下重力与浮力的合力为零（因为球的密度与水的密度相同，在水面以上移动距离为r+x, 故作功为
2． 求过点（3，0，﹣1）且与平面3x －7y ＋5z －12=0平行的平面方程.
【答案】所求平面与已知平面3x －7y ＋5z －12=0平行. 因此所求平面的法向量可取为n=（3，，设所求平面为 ﹣7，5）
3x －7y ＋5z ＋D=0 将点（3，0，﹣1）代入上式得D=﹣4. 故所求平面方程为 3x －7y ＋5z －4=0
3． 一物体按规律x=ct3作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由x=0移到x=a时，克服介质阻力所作的功。
【答案】速度为设当t=T时，x=a，得
4． 求函数
【答案】
在点（0, 0）的三阶泰勒公式。 ，阻力为，故
，由此得到
。
。
于是
又
将以上各项代入三阶泰勒公式，便得
其中
5． 一均匀物体（密度为常量）占有的闭区域由曲面所围成。
（1）求物体的体积; （2）求物体的质心;
（3）求物体关于z 轴的转动惯量.
【答案】（l ）如图所示，由的对称性可知
和平面z=0, │x │=a, │y │=a
图
（2）由对称性可知，质心位于z 轴上，故
。
（3）
6． 设函数
应当怎样选择数a ，使得f （x ）成为在【答案】由初等函数的连续性，f （x ）在在
在x=0处，
即f （x ）在x=0处连续。
于是，选择a=1，f （x ）就成为在
内的连续函数? 及
内连续，所以要使f （x ）取a=1，即有
内的连续函数。
内连续，只要选择数a ，使f （z ）在x=0处连续即可。