2017年曲阜师范大学物理工程学院851量子力学考研题库
● 摘要
一、简答题
1． 什么是费米子? 什么是玻色子? 两者各自服从什么样的统计分布规律?
【答案】费米子是自旋为半奇数的粒子，玻色子是自旋为整数的粒子. 费米子遵守费米-狄拉克统计规律，玻色子遵从玻色-爱因斯坦统计规律.
2． 什么是隧道效应，并举例说明。
【答案】粒子的能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应，如金属电子冷发射和衰变现象都是隧道效应产生的。
3． 波函数
是否描述同一状态？
【答案】
与描写的相对概率分布完全相同，描写的是同一状态。
4． 写出电子在外电磁场中的哈密顿量。 【答案】
5． 写出在【答案】
表象中的泡利矩阵。
6． 以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。 【答案】在量子力学中，能量
用算符表示，
当体系处于某个能量态
的作用是得到这一本征值，即
当体系处于一般态
的本征态
时，算符对
的作
时，算符对态
，即用是得到体系取不同能量本征值的几率幅（从而就得到了相应几率）
7． 如果一组算符有共同的本征函数，且这些共同的本征函数组成完全系，问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易？ 【答案】不妨设这组算符为
.
则对任意波函数
完全系为有：
可见，这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。
依题意
8． 分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。 【答案】
9． 简述波函数的统计解释。
【答案】波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
10．坐标分量算符与动量分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。 【答案】对易关系为
测不准关系为
二、计算题
11．两个自旋为
的非全同粒子构成一个复合体系，设两个粒子间的相互作用为
其中c 为
实常数。设t=0时粒子1的自旋沿z 轴的正方向，粒子2的自旋沿z 轴的负方向，要求： （1）给出H 的本征值，并给出t ＞0时体系处的状态【答案】（1）体系的哈密顿算符为：
在稱合表象中，本征函数的编号选为：
哈密顿算符在耦合表现中的矩阵形式为：
（2）给出t ＞0时，测量粒子1的自旋仍处在z 轴正方向的几率。
则可知的本征值为：
依题意可知，初态波函数为：
这样，可以给出t ＞0时体系处的状态
为：
（2）根据上述分析，测量粒子1的自旋仍处在z 轴正方向的几率为：
12．氢原子处在基态（1）r 的平均值； （2）动能的平均值； （3）动量的概率分布函数. 【提示：
【答案】（1） r 的平均值即
5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级
和简并度，与三维各向同性谐振子比较.[上]3.9题 （2）由维里定理
（为势能关于r 的幂次）有动能平均值
其中玻尔半径
】
求：
而氢原子基态能量为
故
5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级和简并
度，与三维各向同性谐振子比较.[上]3.9题5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级和简并度，与三维各向同性谐振子比较.
13．对于自旋的体系，求量
得
的概率和
的本征值和本征态，并在较小的本征值对应的本征态中，求测
的平均值。
设本征态
本征值为则：
【答案】
将代回原方程：
即：
所以，因此有：