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一、简答题

1． 如果一组算符有共同的本征函数，且这些共同的本征函数组成完全系，问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易？ 【答案】不妨设这组算符为

.

则对任意波函数

完全系为有：

可见，这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。

2． 自旋可以在坐标表象中表示吗？

【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。

3． 假设体系的哈密顿算符不显含时间，而且可以分为两部分：一部分是它的本征值（非简并）和本征函数

已知：另一部分

很小，可以看作是加于

上的微扰. 写出在非简并

状态下考虑一级修正下的波函数的表达式? 及其包括了一级、二级能量的修正的能级表达式。 【答案】

一级修正波函数为二级近似能量为

依题意

其中

4． 写出测不准关系，并简要说明其物理含义。 【答案】测不准关系时有确定的测值。

5． 写出由两个自旋态矢构成的总自旋为0的态矢和自旋为1的态矢。 【答案】总自旋为0:总自旋为1:

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物理含义：若两个力学量不对易，则它们不可能同

6． 能级的简并度指的是什么？

【答案】能级简并度是指对应于同一能量本征值的线性无关的本征态个数。

7． 归一化波函数是否可以含有任意相因子 【答案】可以。因为即用任意相因子

如果

对整个空间积分等于1，则

对整个空间积分也等于1。

去乘以波函数，既不影响体系的量子状态，也不影响波函数的

归一化。

8． 什么是量子跃迁？什么是选择定则？线偏振光和圆偏振光照射下的选择定则有什么区别？ 【答案】量子跃迁是指在某种外界作用下，体系在不同的定态之间跃迁。

选择定则：从一个定态到另一个定态之间的跃迁概率是否为零，也即跃迁是否是禁戒的。 线偏振光选择定则：圆偏光选择定则：

9． 量子力学中的力学量算符有哪些性质? 为什么需要这些性质？

【答案】量子力学中力学量算符为厄米算符，因而具有所有厄米算符的性质.

量子力学中力学量算符为厄米算符是由力学量算符本征值必须为实数决定的，比如，力学量的平均值为实数，因而对求平均值的式子求共轭后，其值应该不变，而求平均值时算符求共轭后式子值不变即要求算符为厄米算符.

10．放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这与什么量子效应有关？

【答案】与量子隧穿效应有关。

二、证明题

11．（1）设（2）试将【答案】（1）

与pauli 算符对易，证明

表示成

的线性叠加. 其中为单位算符.

利用

化简可得：

（2）

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12．设在电子的某自旋态中，测量自旋的x 分量和 >> 分量的平均值皆为零，则测电子自旋分量的平均值一定为

【答案】设在

或

证明这一点。

表象中，这自旋态的表示为：

则由自旋x 分量和; y 分量算符的表本为：

根据题给条件，有：

由此得：即：

或

要么自旋朝下

和

即都为自旋分量的本征态。在

这就意味着，此态要么是自旋朝上

这两个本征态中，

测量自旋分量的平无值分别为

三、计算题

13．求一宽度为a 且关于原点对称的一维无限深势阱中粒子的坐标在能量表象中的矩阵元. 【提示：

【答案】【注：题中所给积化和差公式有误，正确的积化和差公式为在势阱内有定态方程

处于定态时有

则有

由于势函数满足（1）满足偶宇称时有则

设

则波函数满足奇宇称或偶宇称.

注意到①有

有

】

】

再考虑到归一化条件

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