2018年四川师范大学物理与电子工程学院826量子力学考研基础五套测试题
● 摘要
一、简述题
1． 波函数么？
【答案】波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。表示在时刻附近体积元中粒子出现的几率密度。
2． 量子力学中的力学量算符有哪些性质? 为什么需要这些性质？
【答案】量子力学中力学量算符为厄米算符，因而具有所有厄米算符的性质.
量子力学中力学量算符为厄米算符是由力学量算符本征值必须为实数决定的，比如，力学量的平均值为实数，因而对求平均值的式子求共轭后，其值应该不变，而求平均值时算符求共轭后式子值不变即要求算符为厄米算符.
3．
写出角动量的三个分量【答案】这三个算符的对易关系为
4． 现有三种能级【答案】
请分别指出他们对应的是哪些系统。
对应一维无限深势阱；
对应
的对易关系.
是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？
的物理含义是什
对应中心库仑势系统，例如氢原子；
一维谐振子．
5． 试比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。
【答案】对于粒子，共同点是颗粒性，即是具有一定质量、电荷等属性的客体；不同点是经典粒子遵循经典决定论，沿确定轨道运动，微观粒子不遵循经典决定论，无确定轨道运动。 对于波，共同点是遵循波动规律，具有相干迭加性；不同点是经典波是与某个客观存在的物理量的周期性变化在空间中的传播相联系的量子力学中的物质波不存在这样的物理量，它只是一种几率波。
二、解答题
6． 在一维情况下，若用（a ）从薛定谔方程出发，证明
表示时刻t 在
区间内发现粒子的几率.
其中
是几率流密度.
（b ）对于定态，证明几率流密度与时间无关. 【答案】（a ）设t 时刻粒子的波函数
波函数满足薛定谔方程：
对（1）两端取复共轭得，
做运算
得
上式两边同除以移项得，
则几率流密度公式为上式可表示为
两端积分得：
又由于t 时刻在区间（a ，b ）内发现粒子的几率为：代入上式可得，
（b ）对于定态波函数
代入几率流密度方程
可得，
是一个与t 无关的量，故定态的几率流密度与时间无关.
7． 力学量在自身表象中的矩阵表示有何特点？
【答案】力学量在自身表象中的矩阵是对角的，对角线上为的本征值。
8． 设为氢原子束缚态能量本征函数（已归一），考虑自旋后，
某态表示为
在该态下计算（结果应尽量化简）：
（1）在薄球壳（2）在薄球壳（3）
内找到粒子的几率。 内找到粒子且自旋沿
的几率。
为总角动量，计算在该态下的平均值。
在薄球壳
内找到粒子的概率
【答案】（1）由题意可得：为：
（2）在薄球壳内找到粒子且自旋沿+x的几率可表示 为：
故：
已知在本征态表象下因此有：
（3）在
下的平均值为：
9． 已知征值。 【答案】中，
表示力学量，因而是厄密算符，因此，
算符也为厄米算符。可知，
表象
i 算符的本征值均为±1。有：
当设
时，
本征函数为表象中表示为
时，本征函数为
因此有：
算符，在
表象中给出
的矩阵表达式，并示出它们的本征函数及本
由厄米算符的定义，可知a 、c 必为实数，