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一、简述题

1． 电子在位置和自旋表象下，波函数【答案】

利用

的几率密度；

表示粒子在

如何归一化？解释各项的几率意义。

进行归一化，其中

：

处

的几率密度。

表示粒子在

|

处

2． 非相对论量子力学的理论体系建立在一些基本假设的基础上，试举出二个以上这样的基本假设，并简述之。

【答案】（1）微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。

（2）力学量用厄密算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示式中将动量换为算符数。

（3）将体系的状态波函数

用算符的本征函数展开：

则在

盔中测量力学量得到结果为

（4）体系的状态波函数满足薛定谔方程

其中是体系的哈密顿算符。

的几率是

得到结果在

范围内的几率是

得出。表示力学量的算符组成完全系的本征函

（5）在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态（全同性原理）。 以上选三个作为答案。

3． 波函数是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？么？

【答案】波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。表示在时刻附近

4． 反常塞曼效应的特点，引起的原因。 【答案】原因如下：

（1）碱金属原子能级偶数分裂； （2）光谱线偶数条；

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的物理含义是什

体积元中粒子出现的几率密度。

（3）分裂能级间距与能级有关；

（4）由于电子具有自旋。

5． 将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据

对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于

粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。

二、解答题

6． 粒子的一维运动满足薛定愕方程：（1）若

是薛定谔方程的两个解，证明

与时间无关.

（2）若势能V 不显含时间t ，用分离变数法导出不含时的薛定谔方程，并写出含时薛定谔方程的通解形式. 【答案】⑴

取式（1）之复共轭，得

得

对全空间积分： 即

所以与时间无关. （2）设

代入薛定谔方程，分离变量后，得E 为既不依赖t , 也不依赖r 的常数. 这样，所以

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因此，通解可以表示为其中，

是满足不含时的薛定谔方程

中，K 为非零常数. 在动量表象中求与能量E 对应

也属于正幂次级数，故有定态方程

7． 设质量为m 的粒子处于势场的本征波函数

【答案】显然势场不含时，属于一维定态问题，而

式中：

则I 式可以化为：令

上方程可化简为

式解得

8． 验证球面波

满足自由粒子的薛定谔方程：

（注：【答案】

故

其中

则

其中C 为归一化常数。

代表仅与角度有关的微分算符）

则

故

由（1）（2）（3）式可得

9． 若是电子的自旋算符，求： （1）

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此即所需证明方程.