题目：$2 imes 2$ 上三角算子矩阵的谱问题

设 $cal H$, $cal K$是复可分希尔伯特空间,
$cal B(H)$, $cal B(K,H)$分别表示 $cal H$上的和从$cal K$到 $cal H$ 上的
有界线性算子构成的Banach空间. 如果
$Ain {cal B(H)} hbox{, } Bin cal B(K)$给定, 设$Cin cal B(K,H)$, 我们用
$M_C$ 表示 ${mathcal
H}oplus {mathcal K}$ 上的$2 imes 2$上三角算子矩阵,其具体形式如下:
$$M_{C}=left(
egin{array}{ccc}
A& C \ 0 & B \
end{array}
ight).$$

近十年来, $2 imes 2$上三角算子矩阵的谱扰动问题吸引了一大批学者, 如杜鸿科, D. S. Djordjevi$acute{c}$,
W. Y. Lee, J. K. Han, H. Y. Lee, M. Barraa等, 他们对该问题进行了深入的研究(参见文献[1-9]).
本文继续研究 $2 imes 2$上三角算子矩阵的谱扰动问题,
如Drazin谱, Weyl谱及Browder谱,并且就[1]中杜和潘提出的算子$C_0$的存在问题,给出一个部分回答.

本文共分为三章,主要内容如下,

第一章通过研究上三角算子矩阵$M_C$的Drazin 可逆性,指出算子$A, B, M_C$
三者中如有两个是Drazin 可逆的,则第三个也是Drazin 可逆的. 此外, 算子$A, B, M_C$ 的Drazin谱之间
有着类似于它们各自谱之间的关系,即$sigma_D(M_C) subsetsigma_D(A)cupsigma_D(B)$且
$(sigma_D(A)cupsigma_D(B))setminussigma_D(M_C)subset sigma_D(A)capsigma_D(B).$
同时给出在一定条件下, $M_C$的Drazin谱的交$igcap_{Cin cal
B(K,H)}sigma_D(M_{C})$的具体表示.

第二章通过探讨上三角算子矩阵$M_C$的Browder 定理成立的条件,
来研究Weyl 谱$sigma_w(M_{C})$ 及Browder 谱$sigma_b(M_{C})$的扰动问题. 通过对算子谱结构的分析,
当算子$Ain {cal B(H)}$, $Bin cal B(K)$给定时, 给出Weyl谱的交$igcap_{Cin cal
B(K,H)}sigma_w(M_{C})$的重新刻画.这与文献[2]中推论3.7的结果是一致的.此外,
我们利用Browder定理对上三角算子成立时,
Weyl 谱与Browder谱的关系,完全刻画Browder谱的交$igcap_{Cin cal
B(K,H)}sigma_b(M_{C})$. 同时给出在一定条件下, $igcap_{Cin cal
B(K,H)}sigma_b(M_{C})$的另一种形式.

第三章我们讨论文献[1]中提出的问题: 给定算子$Ain {cal B(H)}$, $Bin cal B(K)$,
是否存在算子$C_0in cal B(K,H)$
使得$$sigma(M_{C_0})=igcap_{Cin cal
B(K,H)}sigma(M_{C})? $$ 对此我们给出一个部分回答,
指出当给定的算子$A, B $ 满足一定条件时, 算子$C_0$是存在的.