2016年暨南大学量子力学复试笔试最后押题五套卷
● 摘要
一、简答题
1． 有人说“在只考虑库仑势场情况下，氢原子原有本征态都存在实的轨道波函数”，你是否同意这种说法， 简述理由。 【答案】不同意。因为
2． 以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。 【答案】在量子力学中，能量
用算符表示，
当体系处于某个能量态
3． 写出泡利矩阵。 【答案】
4． 电子在位置和自旋表象下，波函数【答案】
利用
的几率密度；
表示粒子在
如何归一化？解释各项的几率意义。
进行归一化，其中
：
处
的几率密度。
表示粒子在
|
处
的作用是得到这一本征值，即
当体系处于一般态
的本征态
时，算符对
的作
时，算符对态
为实函数，但
可以为复函数。
，即用是得到体系取不同能量本征值的几率幅（从而就得到了相应几率）
二、计算题
5． 对于角动量算符（b ）定义升降算符态，则
也是
利用对易关系
的本征态.
同理可得则
其
中
是
符号
，
的三个分量之间的关系通式为
：
（b ）
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（a ）在直角坐标系中，推导各分量之间的对易关系，并归纳出统一的表达式.
证明：若f 是
的共同本征
（c ）在球坐标系中，求解的本征方程. 【答案】（a ）由
若f 是则
可见
是
和
的共同本征函数，本征值分别为
代入
的本征方程
得
的共同本征函数，可设
（c ）在球坐标中，
利用周期性边界条件由归一化条件可得
相应的本征方程为
6． 设质量为m 的粒子处于势场的本征波函数
可得
则的本征态为
中，K 为非零常数. 在动量表象中求与能量E 对应
也属于正幂次级数，故有定态方程
【答案】显然势场不含时，属于一维定态问题，而
式中：
则I 式可以化为：令
上方程可化简为
式解得
7． 一自由的三维转子的Hamiltonian
为（1）求能谱与相应的简并度； （2）若给此转子施加以微扰已知：
【答案】（1）显然，哈密顿算符与本征值对应， 故三维转子能谱
（2）转子在基态非简并时，
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则其中C 为归一化常数。
式中，是轨道角动量算符，1是转子的转动惯量。
求基态能级移动（直至二阶微扰）.
其中1为轨道角动量量子数，其简并度为21+1 .