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一、简答题

1． 量子力学中的可观测量算符为什么应为厄米算符？

【答案】实验上可以观测的力学量的平均值必须为实数，而体系在任何量子态下平均值为实数的算符必为厄米算符，因此这要求可观测量算符应为厄米算符。

2． 试表述量子态的叠加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由. 【答案】量子态的叠加原理：若仍然为粒子可能处于的态.

叠加系数不依赖于时空变量. 因为量子态的叠加原理已经明确说明了是任意线性组合，即表明了叠加系数不依赖于任何变量.

3． 什么是塞曼效应？什么是斯达克效应？

【答案】塞曼效应是原子在外磁场中光谱发生分裂的现象；斯达克效应是原子在外电场作用下光谱发生分裂的现象。

4． 厄米算符的本征值与本征矢

为粒子可能处于的态，那么这些态的任意线性组合

分别具有什么性质？

【答案】本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系。

5． 解释量子力学中的“简并”和“简并度”。

【答案】一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”；一个能级对应的本征函数的数目称为“简并度”。

6． 什么是定态？若系统的波函数的形式为处于定态？

【答案】体系能量有确定的不随时间变化的状态叫定态，定态的概率密度和概率流密度均不随时间变化. 不是，体系能量有E 和-E 两个值，体系能量满足一定概率分布而并非确定值.

7．

写出角动量的三个分量【答案】这三个算符的对易关系为

8． 能级的简并度指的是什么？

【答案】能级简并度是指对应于同一能量本征值的线性无关的本征态个数。

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问是否

的对易关系.

9． 反常塞曼效应的特点，引起的原因。 【答案】原因如下：

（1）碱金属原子能级偶数分裂； （2）光谱线偶数条；

（3）分裂能级间距与能级有关；

（4）由于电子具有自旋。

10．何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？

【答案】在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。在弱磁场中，原子发出的

每条光谱线都分裂为

条（偶数）的现象称为正常塞曼效应。原子置于外

电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。

二、计算题

11．粒子在势场作【

答

案

】

利

用

波

函

数

的

由重新代入

得：

表达式，得：

中（为x 轴

归

一

化

公

式

中运动，其中

试用变分法求基态能级的上限。试探波函数可取

故基态能量的上限为：

12．考虑一自旋量于救s=l的粒子，忽略空间自由度，并假定粒子处在外磁场的单位矢量），粒子的哈米顿算符为（1）若虬

同本征矢

（2）如果初始时刻t=0粒子的态为（3）发现粒子处在【答案】（1）由于

求在t ＞0后粒子的态？

为基，求自旋算符S 的矩阵表示.

态的概率是多少?

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故

由于哈密顿量为（2）由定态方程

则能量本征态对应于

解得

本征态.

而故t ＞0后粒子的态为

（3）由于

故所求概率为

13．一粒子在力学量的三个本征函数

所张成的三维子空间中运动，其

能量算符

和另一力学量算符的形式如（1）求的本征值和相应的归一化本征矢（用（2）证明的平均值不随时间变化. 【答案】（1）由

令

可得

其中a , b为实数。 表示）：

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